【解析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题．
（1）证明∠BEF＝∠BFE即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题即可）．证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB， 由翻折可知：∠DEF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．
（2）如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形．利用面积法证明PM+PN＝EH，利用勾股定理求出AB即可解决问题．
如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．
∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2， ∴AD＝BC＝7，AE＝2，
在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2， ∴AB＝
＝
，
∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴?BF?EH＝?BE?PM+?BF?PN， ∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝
，
∵四边形PMQN是平行四边形， ∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2
．
（3）①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．由S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，可得BE?PM﹣?BF?PN＝?BF?EH，由BE＝BF，推出PM﹣PN＝EH＝
，由此即可解决问题．
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②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．
．
∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b， ∴AD＝BC＝a+b， ∴AE＝AD﹣DE＝b， ∴EH＝AB＝
，
∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，
∴BE?PM﹣?BF?PN＝?BF?EH， ∵BE＝BF， ∴PM﹣PN＝EH＝
，
∵四边形PMQN是平行四边形， ∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝
．
．
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝
2
16.（2019?湖南邵阳）如图，二次函数y＝﹣x+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0） （1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A.B两点，过A.B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D.点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A.E.F、
Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
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【答案】见解析。
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程． （1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣x+bx+c，得：
2
，解得：，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x+x． （2）当y＝m时，﹣x+x＝m， 解得：x1＝4﹣∴点A的坐标为（4﹣∴点D的坐标为（4﹣∵矩形ABCD为正方形， ∴4+
﹣（4﹣
）＝m， ，x2＝4+
，
，m）， ，0）．
2
2
，m），点B的坐标为（4+，0），点C的坐标为（4+
解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4． ∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．
（3）以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0）， 将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：
，解得：
，
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∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．
当x＝2+t时，y＝﹣x2
+x＝﹣t2
+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4， ∴点E的坐标为（2+t，﹣t2
+t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）． ∵以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF， ∴AQ＝EF，分三种情况考虑：
①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣t2
+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2
+t， ∴t＝﹣t2
+t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4；
②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t2
+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2
+t，∴t﹣4＝﹣t2
+t，
解得：t3＝﹣2（舍去），t4＝6；
③当7＜t≤8时，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t+4﹣（﹣t2
+t+4）＝t2
﹣t， ∴t﹣4＝t2
﹣t， 解得：t5＝5﹣
（舍去），t6＝5+
（舍去）．
综上所述：当以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6．
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