①若 在 内有且只有一个零点， 无零点，故只需 得
；
②若 为 的零点， 内无零点， 则 ，得 经检验，
符合题意.
，
综上， 或
.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查二次函数的图像和性质，考查零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
13．已知非常数函数 的定义域为 ，如果存在正数 ，使得 ，都有 恒成立，则称函数 具有性质T.
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由; ① ；② .
（Ⅱ）若函数 具有性质T，求 的最小值;
（Ⅲ）设函数 具有性质T，且存在 ，使得 ，都有 成立，求证： 是周期函数. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ） ； （Ⅲ）见解析. 【分析】
（Ⅰ）利用反证法和函数的周期性的定义，即可作出结论. （Ⅱ）由函数 具有性质T，转化为存在正数 ，使得 ，都有 恒成立.利用三角函数的图象与性质，即可求解.
（Ⅲ）由题意得出存在正数 ，使得 ， 恒成立，即 ，以此类推可得 . 利用函数的性质，即可求解. 【详解】
（Ⅰ）函数 不具有性质T，函数 具有性质T.理由如下：
①假设函数 具有性质T，即存在正数 ，使得 恒成立. 则 对 恒成立.
所以 此方程组无解，与存在正数 矛盾.
所以 函数 不具有性质T.
②取 ，则 ， 即 对 恒成立. 所以 函数 具有性质T.
（Ⅱ）因为函数 具有性质T，
所以存在正数 ，使得 ，都有 恒成立. 令 ，则 对 恒成立.
若 ，取 ，则 ，矛盾； 若 ，取
，则
，即
，矛盾；
所以 .
则 当且仅当 时， 对 恒成立. 因为 ， 所以 .
所以 当 时，函数 具有性质T. 所以 的最小值是 .
（Ⅲ）因为 函数 具有性质T，
所以 存在正数 ，使得 ， 恒成立.
所以 ，以此类推可得 .
用 代替 ，可得 .
因为 不是常数函数， 所以 存在 ，使得 .
若 ，则 . 所以 .
因为 存在 ，使得 ，都有 成立，
取 ，则 ，矛盾.
若 ，则 . 同上可知存在 ，使得
，矛盾.
所以 .
所以对 ， . 所以 是周期为1的函数.
【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数基本性质的综合应用，其中解答中正确理解题意，合理利用函数的周期性的定义和函数的基本性质，灵活化简、运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题.
14．如图，在平面四边形 中， ， ， ．
（1）当四边形 内接于圆 时，求四边形 的面积 ； （2）当四边形 的面积最大时，求对角线 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理列等量关系求C，A，再根据三角形面积公式求结果，（2）根据三角形面积公式以及余弦定理列方程组，化简得关于面积的函数关系式，根据余弦函数性质得最大值取法，再根据余弦定理求BD。 【详解】
连接 ，由余弦定理得
即 .
又四边形 内接于圆 ，则又
所以 化简得 ，又 所以
，同时有
所以 .
（2）
设四边形 的面积为 ，则
即
平方相加得： 即 又
当 时， 有最大值，即 有最大值。 又 ，可得
此时， ，代入 中得
在 中
所以 【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属较难题.
15．某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口 沿 ， 方向修建两条小路，休息亭 与入口的距离为 米（其中 为正常数），过 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于 、 处，已知
，
．
（1）设 米， 米，求 关于 的函数关系式及定义域； （2）试确定 ， 的位置，使三条路围成的三角形 地皮购价最低．
【答案】(1) ，定义域为 (2)见解析 【分析】
（1）法一：由 得 ，
，利用
，进而得 ，设
，得y关于x的函数关系即可；法
二：由
得 ， ，
， 中，由正弦定理 结合 ，求得y关于x的函数关系即可；(2) 设三条路围成地皮购价为 元，地皮购价为
元/平方米，则 （ 为常数），利用换元法结合基本不等式求 = 最小值即可
【详解】
（1）法一：由 得 ，
且
由题可知
所以 得
即
所以 由 得定义域为
法二： 由
得
，
设
中，由正弦定理
所以 同理可得 由 即
整理得 ，
由 得定义域为
（2）设三条路围成地皮购价为 元，地皮购价为 元/平方米，则 （ 为常数）， 所以要使 最小，只要使 最小
由题可知 定义域为
令 则 当且仅当 即
时取等号所以，当
时， 最小，所以 最小，此时y=
答：当点 距离点 米,F距离点
米远时，三条路围成地皮购价最低
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，正余弦定理，面积公式，基本不等式求函数最值，考查计算能力，是中档题
相关推荐：
loading