几何难题精选
∴∠PCA=∠PEB，
又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n， ∴l∥CE， ∴AC=BE，
在△PAC和△PBE中，
∴△PAC≌△PBE， ∴PA=PB．
（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，∵直线m∥n， ∴
，
，
∴AP=PF， ∵∠APB=90°， ∴BP⊥AF， 又∵AP=PF， ∴BF=AB；
在△AEF和△BPF中，
∴△AEF∽△BPF， ∴
，
∴AF?BP=AE?BF，
∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB， ∴2PA?PB=2k．AB， ∴PA?PB=k?AB． 【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握． （3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
几何难题精选
第 21 页
21
几何难题精选
4．（2015?重庆）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F． （1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．
【考点】几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义． 【专题】压轴题． 【分析】（1）如图1，易求得∠B=60°，∠BED=90°，BD=2，然后运用三角函数的定义就可求出BE的值；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到
BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB； （3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60°，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，从而可得
BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．然后在Rt△BMD中，运用三角函数就可得到DM=BM，即BE+CF=（BE﹣CF）． 【解答】解：（1）如图1， ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4． ∵点D是线段BC的中点， ∴BD=DC=BC=2．
∵DF⊥AC，即∠AFD=90°，
∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°， ∴∠BED=90°，
∴BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×=1；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，
几何难题精选
第 22 页
22
几何难题精选
则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．
∵∠A=60°，∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°． ∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF． 在△MBD和△NCD中，
，
∴△MBD≌△NCD， ∴BM=CN，DM=DN． 在△EMD和△FND中，
，
∴△EMD≌△FND， ∴EM=FN，
∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN =2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；
（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3． 同（1）可得：∠B=∠ACD=60°．
同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN． ∵DN=FN，∴DM=DN=FN=EM，
∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM， BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM． 在Rt△BMD中，DM=BM?tanB=BM， ∴BE+CF=（BE﹣CF）．
几何难题精选
第 23 页
23
几何难题精选
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键． 5．（2015?烟台）【问题提出】
如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF 试证明：AB=DB+AF 【类比探究】
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由 （2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．
【考点】几何变换综合题． 【专题】压轴题． 【分析】首先判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD=AE，AB=AE+BF，所以AB=DB+AF．
（1）首先判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∠FCG=∠FEA，再根据∠FCG=∠EAD，∠D=∠EAD，可得∠D=∠FEA；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD=AE，EB=AF，进而判断出AB=BD﹣AF即可． （2）首先根据点E在线段BA的延长线上，在图③的基础上将图形补充完整，然后判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，再判断出∠DBE=∠EAF，∠BDE=∠AEF；最后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD=AE，EB=AF，进而判断出AF=AB+BD即可． 【解答】证明：ED=EC=CF，
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF， ∴∠ECF=60°，∠BCA=60°，BE=AF，EC=CF， ∴△CEF是等边三角形，
几何难题精选
第 24 页
24
相关推荐：
loading