（2）若点M在棱BC上，且MC?2MB，求点C到平面POM的距离．
20．（12分）
设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8． （1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
21．（12分）
1已知函数f?x??x3?ax2?x?1．
3??
（1）若a?3，求f(x)的单调区间； （2）证明：f(x)只有一个零点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
?x?2cosθ,?x?1?tcosα,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（θ为参数），直线l的参数方程为??y?4sinθ?y?2?tsinα（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数f(x)?5?|x?a|?|x?2|．
（1）当a?1时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≤1，求a的取值范围．
5
参考答案
一、选择题 1．D 7．A
2．C 8．B
3．B 9．C
4．B
5．D
6．A 12．C
10．C 11．D
二、填空题 13．y=2x–2 三、解答题 17．解：
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n–8n=（n–4）–16． 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16． 18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 $y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
2
2
14．9 15．
3 2 16．8π
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 $y=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变至2016年的数据建立的线性模型$化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更
6
可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：
（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23． 连结OB．因为AB=BC=
22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=12AC=2．
由OP2?OB2?PB2知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，∠ACB=45°．
所以OM=253，CH=OC?MC?sin?ACB45OM=5．
所以点C到平面POM的距离为455． 20．解：
（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）． 设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由??y?k(x?1)2得?y?4xk2x2?(2k2?4)x?k2?0． ??16k2?16?0，故x2k2?41?x2?k2． 所以AB?AF?BF?(x4k2?41?1)?(x2?1)?k2．
7
4k2?4由题设知，k=1． ?8，解得k=–1（舍去）
k2因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为 y?2??(x?3)，即y??x?5．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
?y0??x0?5，?x0?3，?x0?11，?2解得或? ??(y0?x0?1)2y?2y??6.(x?1)??16.?0?0?0?2因此所求圆的方程为
(x?3)2?(y?2)2?16或(x?11)2?(y?6)2?144． 21．解：
132（1）当a=3时，f（x）=x?3x?3x?3，f ′（x）=x2?6x?3．
3令f ′（x）=0解得x=3?23或x=3?23．
当x∈（–∞，3?23）∪（3?23，+∞）时，f ′（x）>0； 当x∈（3?23，3?23）时，f ′（x）<0．
故f（x）在（–∞，3?23），（3?23，+∞）单调递增，在（3?23，3?23）单调递减．
x3?3a?0． （2）由于x?x?1?0，所以f(x)?0等价于2x?x?1x2(x2?2x?3)x3?3a，则g ′（x）=设g(x)=2≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在
(x2?x?1)2x?x?12（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点． 112112又f（3a–1）=?6a?2a???6(a?)??0，f（3a+1）=?0，故f（x）有一个零点．
3663综上，f（x）只有一个零点． 22．解：
x2y2?1． （1）曲线C的直角坐标方程为?416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
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