M(x,f(x))为图象C上的任意一点，O为坐标原点，当实数?满足x??x1?(1??)x2时，记向量
ON??OA?(1??)OB，若|MN|?k恒成立，则称函数y?f(x)在区间[x1,x2]上可在标准k下
线性近似，其中k是一个确定的正数.
（1）设函数f(x)?x2在区间[0,1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；
（2）已知函数g(x)?lnx的反函数为h(x)，函数F(x)?[h(x)]a?x，（a?0），点C(x1,F((x1))、
D(x2,F((x2))，记直线CD的斜率为?，若x1?x2?0，问：是否存在x0?(x1,x2)，使F'(x0)??成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由.
请考生在第22、23二题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
?x?tcos?已知直线l的参数方程为?（t为参数，0????），以坐标原点O为极点，x轴的正
y??2?tsin??半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??1，l与C交于不同的两点P1,P2. （1）求?的取值范围；
（2）以?为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)?|x?2|?|x?1|. （1）解不等式f(x)?5； （2）若f(x)?(log2a)?log
22a对任意实数x恒成立，求a的取值范围.
宜春市2016～2017学年第二学期期末统考
数学试卷答案（理）
一、选择题： 1 D
二、填空题: 13. 2 C 3 C 4 B 5 A 6 B 7 D 8 C 9 C 10 A 11 D 12 A 214. 3x?4y?5?0或x?1 15. (3,41)16.???,?1???1,???
三、解答题：
17.解:(1)设AP?x(米)，则AQ?200?x,所以
13?200?2
(米) S?APQ?x?200?x?sin1200??25003??24?2?2
当且仅当x?200?x时，取等号。即AP?AQ?100(米)，Smax?25003(米)
APAQPQ??(2)由正弦定理， 得AP?100sin?AQP,AQ?100sin?APQ
sin?AQPsin?APQsin?A故围墙总造价
2y?100?AP?2AQ??100000?sin?AQP?2sin?APQ??100003cos?AQP
因为AP?AQ， 所以
?6??AQP??3，?33?3cos?AQP? 22??(元) ，所以围墙总造价的取值范围为500031500018. 解：（1）甲班前5位选手的总分为88?89?90?91?92?450，
乙班前5位选手的总分为82?84?92?91?94?443，
若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为： （90，98），（90，99），（91，99），共三个， ∴乙班总分超过甲班的概率为p??33?．
10?10100（2）?的可能取值为0，1，2，3，4，
22
P(??0)?C4C2?622C6C4225112211CCC?C56 4C4C2P(??1)?242?22C6C6225111122
P(??2)?C2C4C4C2?C4C4?10122C6C6225211112CCC?C56 2C4C4P(??3)?242?22C6C6225
22 CC624P(??4)??22C6C6225∴?的分布列为：
? P 0 1 2 3 4 65610156 225225225225 656101566E??0??1??2??3??4??222522522522522519. 证明：(1)∵四边形ABCD为菱形,且?B?1200，
??ABD为正三角形， ∵E为AB的中点 ?DE?AE,DE?BE ?DE?面ABE (注：三个条件中,每少一个扣1分)
6 225（2）以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示.
?DE?面ABE，??AEB为二面角A-DE-H的一个平面角，??AEB?2? 3?13?E0,0,0,A0,1,0,B0,?,,D????设AE=1则????22???????????由DH?2EB得H3,?1,3
?3,0,0
????????33??????AB???0,?2,2??,AH????3,?2,3
? ?33?z?0??y?设平面ABH的法向量为n??x,y,z?，则?2 2?3x?2y?3z?0??令y?3得n??1,3,3 ????而平面ADE的一个法向量为m??0,0,1? 设平面ABH与平面ADE所成锐二面角的大小为? ???n?m313313cos???????则. 1313n?m313 13所以平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为y2x220. 解(1)设椭圆的方程为2?2?1?a?b?0?，
ab22a?b3由题意可得??a?2b a2a5a5410将y?x代入椭圆E得：x???2?2?=?a?2
555y2所以椭圆E的方程为?x2?1；
4????????????(2) 假设存在实数m,使OA??OB?4OP则 由题意可得P(0,m)， 当m?0时， O、P重合， ??1显然成立
????????????????????????????????????当m?0时，由AP??PB可得OP?OA??OB?OP?OA??OB??1???OP 所以??3，
设A(x1,y1),B(x2,y2)， ????????由AP?3PB,可得x1??3x2 ① 把直线y?kx?m代入椭圆方程
??222可得k?4x?2kmx?m?4?0
???2km所以x1?x2?2k?4m2?4x1?x2?2??②
k?4
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