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第23课时 特殊四边形和中位线
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学习目标：1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，能够应用知识解决相关问题。 2.掌握三角形中位线定理，并利用该定理解决相关问题。 重难点： 利用知识解决相关问题 学习过程 一、知识梳理
四边形性质（在相应的性质内打“√”）
对边平行且相等 四条边相等 对角相等 四个角相等 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直 平行四边形 矩形 菱形 正方形 平行四边形的判定： ① 的四边形是平行四边形；② 的四边形是平行四边形； ③ 的四边形是平行四边形；④ 的四边形是平行四边形。 矩形的判定：
① 的平行四边形是矩形；② 的平行四边形是矩形； ③ 的四边形是矩形； 菱形的判定：
① 的平行四边形是菱形；② 的平行四边形是菱形； ③ 的四边形是菱形； 正方形的判定：
① 的矩形是正方形；② 的矩形是正方形； ③ 的菱形是正方形；④ 的菱形是正方形； 三角形中位线定理：三角形的中位线 ，并且等于 。 二、典型例题
1.平行四边形的性质和判定： （1）（2017武汉）如图，在
ABCD中，?D?100?，?DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE，若AE?AB，则?EBC的度数为 ．
（2）（2017丽水）如图，在
ABCD中，连结AC，?ABC??CAD?45?，AB?2，则ABCD的周长
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是 2.矩形的性质和判定：
（2017怀化）如图，在矩形ABCD中， 对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，则BC的长是 3.菱形的性质和判定：
（1）（2017孝感）如图，四边形ABCD是菱形，AC?24，BD?10，DH?AB于点H，则线段BH的长为 ．
（2）（2017张家界）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点
F，连接AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
4.正方形的性质和判定：
（1）（2017黔东南）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE?AB，
AF?2AE，FC交BD于O，则?DOC的度数为（ ）
A．60?? B．67.5??
C．75?? D．54?
（2）（2017青岛）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O的中点，连接，F分别为AB，AC，ADCE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
2
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5.四边形的综合应用
（1）（中考指要例1）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且 AE?DF，?A??D，AB?DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形； （2）若AD?10，DC?3，?EBD?60?，则四边形BFCE是菱形．
（2）（中考指要P83例2）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA?PE，PE交CD于F．
（1）求?CPE的度数；
（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当?ABC?120?时，连接CE，试探究线段
BE? 时，
AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
6.三角形的中位线定理：
（中考指要P87例2）（2017河南）如图1，在Rt△ABC中?A?90，AB?AC，点D、E分别中边AB、AC
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上，AD?AE，连接DC，点M,P,N分别为DE、DC、BC的中点。 （1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 。 （2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE，判断△PMN的形状，并说明理由。 （3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD?4，AB?10.请直接写出△PMN面积的最大值。
三、中考预测
（中考指要P83例3）（2017德州）如图1，在在矩形纸片ABCD中，AB?3cm,AD?5cm,折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EF//AB交PQ于F，连接BF, （1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P,Q也随着移动. ①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；
②如限定P,Q分别在BA,BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.
ADGUAEPCBDN图2MEMP N图1
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