第一章第三节空间几何体的表面积和体积
2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( ) A．3 C．5 [答案] A
1
[解析] 由题意，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.
3
3．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为( )
A．1 C．3
2
1
B． 23D． 4B．4 D．6
[答案] D
[解析] 设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径r，高都为h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R，
V柱V锥＝πR2hπr2h＝34，故选D．
5．(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
13
A．4 16C． 3[答案] B
[分析] 根据三视图可知此几何体为棱台，分别确定棱台的底面面积和高即可求得体积．
[解析] 由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，1114高h＝2，代入台体的体积公式V＝(S1＋S1S2＋S2)h＝×(1＋1×4＋4)×2＝. 333
1
14
B．
3D．6
6．(2014·辽宁理)
某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．8－2π πC．8－ 2[答案] B
1
[解析] 该几何体为一个棱长为2的正方体在两端各削去一个圆柱．
4
B．8－π πD．8－
4
V＝2×2×2－2××(π×12×2)＝8－π.
二、填空题
7．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________. [答案]
3
14
12
[解析] 设底面半径为r，则πr×4＝4π，解得r＝3，即底面半径为3.
38．(2013·江苏)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1V2＝________.
[答案] 124
[分析] 找到棱锥的底、高与棱柱的底、高之间的关系，从而可以得出它们的体积之比．
111[解析] 设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝×S×
342
2
h＝Sh＝V2，即V1V2＝124.
三、解答题
9．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．
124124
[解析] 如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r，R，
l，高为h.
作A1D⊥AB于点D， 则A1D＝3.
1
又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝A1D·，
tan60°即R－r＝3×3
，∴R－r＝3. 3
又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°. ∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3×3， ∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，而h＝3， 122
∴V圆台＝πh(R＋Rr＋r)
3
122＝π×3×[(23)＋23×3＋(3)] 3＝21π.
所以圆台的体积为21π.
10．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．
[解析] 该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝1
32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为×(16＋4×83
3
＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.
能力提升
一、选择题
3．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为( )
A．29 cm C．32 cm [答案] A
[解析] 图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h，则有π×1(h－20)＝π×3(h－28)，解得h＝29(cm)． 4．(2015·山西曲沃中学上学期期中)
下图所示是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )
2
2
B．30 cm D．48 cm
A．24 C．8 [答案] B
[解析] 由三视图该几何体是两个完全一样的三棱柱．
B．12 D．4
V＝××2×4×2＝12，故选B．
二、填空题
5．(2014·全国高考江苏卷)
设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1、V2，若它们的的侧面积相等
1
232
4
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