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（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可． 【解答】解：（1）由勾股定理得： CD＝AB＝CD'＝AD'＝BC＝AD''＝

，BD＝AC＝BD''＝；

，

画出图形如图1所示； （2）如图2所示．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理；熟练掌握勾股定理好平行线分线段成比例定理是解题的关键．

21．（8分）在推进嘉兴市城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中A、B两小区分别有500名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：

【信息一】A小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：

【信息二】上图中，从左往右第四组的成绩如下：

75 81 75 82 79 82 79 83 79 83 79 84 80 84 80 84 【信息三】A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：

小区 A B 平均数 75.1 75.1 中位数 75 77 众数 79 76 优秀率 40% 45% 方差 277 211 根据以上信息，回答下列问题：

（1）求A小区50名居民成绩的中位数．

（2）请估计A小区500名居民成绩能超过平均数的人数．

（3）请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析A，B两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．

【分析】（1）因为有50名居民，所以中位数落在第四组，中位数为75； （2）A小区500名居民成绩能超过平均数的人数：500×

＝240（人）；

（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．

【解答】解：（1）因为有50名居民，所以中位数落在第四组，中位数为75， 故答案为75； （2）500×

＝240（人），

答：A小区500名居民成绩能超过平均数的人数240人；

（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同； 从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定； 从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．

【点评】本题考查的是条形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

22．（10分）某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）． （1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数． （2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1米）？ （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，

1.73）

【分析】（1）过点C作CG⊥AM于点G，证明AB∥CG∥DE，再根据平行线的性质求得结果；

（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，通过解直角三角形求得DE，

过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，如图3，通过解直角三角形求得求得DH，最后便可求得结果．

【解答】解：（1）过点C作CG⊥AM于点G，如图1，

∵AB⊥AM，DE⊥AM， ∴AB∥CG∥DE，

∴∠DCG＝180°﹣∠CDE＝110°， ∴BCG＝∠BCD﹣∠GCD＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BCG＝150°；

（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，

在Rt△CPD中，DP＝CP×cos70°≈0.51（米）， 在Rt△BCN中，CN＝BC×cos30°≈1.04（米）， 所以，DE＝DP+PQ+QE＝DP+CN+AB＝2.35（米），

如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，

在Rt△CKD中，DK＝CD×cos50°≈1.16（米）， 所以，DH＝DK+KH＝3.16（米）， 所以，DH﹣DE＝0.8（米），

所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形．

23．（10分）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展． （1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．

（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PPQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”． （3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．

（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM＝时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明． 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

【分析】（1）理由相似三角形的性质构建方程即可解决问题． （2）根据题意画出图形即可．