导数题型汇总

导数题型汇总

?H(4)?0? 故??c??11 1H(?)?0?3? ?故

（2）?f(x)?x3?32x?6x?11 23f(x)?x3?x2?6x?11. ………………………………………………6分

2f(x)?3x2?3x?6

?x?1?(m?1)ln(x?m)(x??m且x?2) ………………8分

?1?m?1x?1? ……………………………………… 10分

x?mx?m ?h(x) ?h?(x) 当m≤－2时，－m≥2，定义域：(?m,??)

h?(x)?0恒成立，h(x)在(?m,??)上单增；

m??1时，2??m?1，定义域：(?m,2)?(2,??)

当?2?

h?(x)?0恒成立，h(x)在(?m,2),(2,??)上单增

当m >－1时，－m <1，定义域：(?m,2)?(2,??) 由h?(x)?0得x >1，由h?(x)?0得x <1.

故在（1，2），（2，+∞）上单增；在(?m,1)上单减. ……………………… 12分 所以当m≤－2时，h(x)在（－m,+∞）上单增； 当?2?m??1时，h(x)在(?m,2),(2,??)上单增；

当m >－1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（－m，1）单减.…………14分 16．山东省泰安市（本小题满分12分） 已知函数

f(x)?ax3?bx2?cx?d(x?R,a?0),?2是f(x)的一个零点，又f(x)在x=0处有极值，在区间（－6，－4）和（－

2，0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反. （I）求c的值；

b的取值范围； a{y|y?f(x),?3?x?2}?[?3,2]成立的实数a的取值范围. （III）当b?3a时,求使 （II）求解：（I）? 37

f(x)?ax3?bx2?cx?d?f?(x)?3ax2?2bx?c

又f（x）在x=0处有极值 ?（II）由（I）知：

f?(x)?0,即c?0.????????????2分

f?(x)?3ax2?2bx令f?(x)?0

导数题型汇总

?x?0或x??2b3a????????????????????????3分

又∵f（x）在区间（－6，－4）和（－2，0）上单调且单调性相反.

??4??2b??23a故3?b?6????????????6分 a （III）?b

?3a,且?2是f(x)?ax3?3ax2?d的一个零点

?d??4a????????????7分

?f(?2)??8a?12a?d?0从而

f(x)?ax3?3ax2?4a

?f?(x)?3ax2?6ax.令f?(x)?0,?x?0或x??2.??????????8分

列表讨论如下：

x f′（x） f（x） －3 －4a （－3，－2） a >0 + a <0 － －2 0 0 （－2，0） a >0 － a <0 + 0 0 －4 a （0，2） a <0 + a <0 － 2 16 a

∴当a >0时，若－3≤x≤2，则－4 a≤f（x）≤16 a 当a <0时，若－3≤x≤2，则16 a≤f（x）≤－4 a

?a?0?a?0??从而?16a?2或?16a??3

??4a??3??4a?2??13?a?或??a?0??????????????????????11分

81631,0)?(0,]，满足题目要求.????????????12分 ∴存在实数a?[?168即0

17．广东省韶关市(本题满分14分)

a?x2?lnx已知函数f(x)=

x(Ⅰ)当a?[?2,1???a?R,x?[,2]?

2??1)时, 求f(x)的最大值; 42(Ⅱ) 设g(x)?[f(x)?lnx]?x, 若不存在,请说明理由. 解：(Ⅰ)当-2≤a<

k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k?1恒成立?若存在,求a的取值范围;

1?1?4a1?1?4a1,x2?. …………..3分 时，由f'(x)=0得x1=422显然-1≤x1<

11?1??1?,

f'(x)=－

?x?x1??x?x2?

x238

导数题型汇总

当

1≤x≤x2时，f'(x)≥0，f(x)单调递增； 2当x2

f'(x)<0，f(x)单调递减，………………………………..5分

f(x)max=f(x2)=

2a1?1?4a?1?1?4a1?1?4a?ln 221?1?4a.………………………………………………………..7分

2(Ⅱ)答: 存在a?(??,13)符合条件……………………………………………………..8分

=-1?4a?ln解: 因为g(x)?[f(x)?lnx]?x=ax?x 不妨设任意不同两点

23p1(x1,y1),p2(x2,y2)，其中x1?x2

3y1?y2a(x1?x2)?(x2?x13)2则k???a?(x12?x1x2?x2)????????11分

x1?x2x1?x2由

22k?1知:a? 1+(x12?x1x2?x2…………………12分 )<1?3x2172?x2?4 故a? 44故存在a?(??,13)符合条件.………………………14分

又

解法二:据题意在

y?g(x)图象上总可以在找一点P(x0,y0)使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在

k?g(x1)?g(x2)2?g'(x0)?a?3x0?1

x1?x277故存在a?(??,)符合条件 442?a?1?3x0?18．深圳市高三年级第一次调研考试（本小题满分13分）

已知函数

f(x)?logax和g(x)?2loga(2x?t?2),(a?0,a?1,t?R)的图象在x?2处的切线互相平行.

?g(x)?f(x)，当x??1,4?时，F(x)?2恒成立，求a的取值范围.

14logae,g?(x)?logae x2x?t?2

(Ⅰ)求t的值； （Ⅱ）设F(x)解：(Ⅰ) ?∵函数

f?(x)?14logae?t?6 f(x)和g(x)的图象在x?2处的切线互相平行?f?(2)?g?(2) ?logae?2t?2?6?F(x)?g(x)?f(x)?2loga(2x?4)－logax

（Ⅱ）?t(2x?4)2?loga,x??1,4?

x?h?(x)?4?(2x?4)216?4x??16,x??1,4? 令h(x)?xx

164(x?2)(x?2)?,x??1,4?∴当1?x?2时，h?(x)?0,当2?x?4时，h?(x)?0. 22xx39

导数题型汇总

∴h(x)在∴当0?1,2?是单调减函数，在?2,4?是单调增函数. ?h(x)min?h(2)?32，?h(x)max?h(1)?h(4)?36

?a?1时，有F(x)min?loga36，当a?1时，有F(x)min?loga32.

∵当x??1,4?时，F(x)?2恒成立, ∴F(x)min?2 ∴满足条件的a的值满足下列不等式组

?0?a?1,?a?1,①，或②不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1?a?42 ???loga36?2;?loga32?2.综上所述，满足条件的a的取值范围是：1?a?42.

????????13分

透视高考数学试题与导数有关的三大热点问题

热点一：导数的几何意义

函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0) (x－x0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现,因此也就成为了高考命题的一个热点。 【错题分析】

[错例1]（06全国II）过点（－1，0）作抛物线（A）2x?y?x2?x?1的切线，则其中一条切线方程为

y?2?0 （B）3x?y?3?0 （C）x?y?1?0 （D）x?y?1?0

误解：

y?x2?x?1,根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率k?f'(-1)=－1，所以曲线的切线方程为y=－(x＋1),即

x?y?1?0,选择（C）

剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点(－1，0) 不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。

正确解法：于是切线方程为

2y??2x?1，设切点坐标为(x0,y0)，则切线的斜率为2x0?1，且y0?x0?x0?1 2y?x0?x0?1?(2x0?1)(x?x0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得

x0＝0或－4，代入可验正D正确。选D

【典型题例】

例1 已知双曲线C:y?m(m?0)与点M（1，1），如图所示.（1）求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切； x（2）设（1）中的两切点分别为A、B，其△MAB是正三角形，求m的值及切点坐标。 【考查目的】

本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用，使代数与几何实现了和谐的勾通。 （1）证明：设Q(t,m)?C，要证命题成立只需要证明关于t的方程y?|x?t?kMQ有两个符号相反的实根。 t40