导数题型汇总
所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。选C 2．（06安徽卷）已知函数（Ⅰ）证明
f?x?在R上有定义，对任何实数a?0和任何实数x，都有f?ax??af?x?
f?0??0；
?kx,x?0, 其中k和h均为常数； f?x???hx,x?0,??0时，设g?x??（Ⅱ）证明
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的k1?f?x?(x?0)，讨论g?x?在?0,???内的单调性并求极值。 f?x?证明（Ⅰ）令x?0，则f?0??af?0?，∵a?0，∴f?0??0。
（Ⅱ）①令x?a，∵a假设x?0，∴x?0，则f?x2??xf?x?。
?0时，f(x)?kx(k?R)，则f?x2??kx2，而xf?x??x?kx?kx2，∴f?x2??xf?x?，即f(x)?kx成立。
?0，∴x?0，f??x2???xf?x?
②令x??a，∵a假设x?0时，f(x)?hx(h?R)，则f??x2???hx2，而?xf?x???x?hx??hx2，∴f??x2???xf?x?，即
?kx,x?0f(x)?hx成立。∴f?x???成立。
?hx,x?01x2?111（Ⅲ）当x?0时，g?x?? ?f?x???kx，g?(x)??2?k?kxkx2f?x?kx令g?(x)?0，得x?1或x??1；
当x?(0,1)时，g?(x)<0，∴g(x)是单调递减函数； 当x?[1,??)时，g?(x)>0，∴g(x)是单调递增函数；
1所以当x?1时，函数g?x?在?0,???内取得极小值，极小值为g(1)??k
k3．（06福建卷）已知
（I）求
f(x)是二次函数，不等式f(x)?0的解集是(0,5),且f(x)在区间??1,4?上的最大值是12。
f(x)的解析式；
（II）是否存在实数m,使得方程f(x)?37?0在区间(m,m?1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；x若不存在，说明理由。
本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质
的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。 45
解：（I）
f(x)??x2?8x??(x?4)2?16.
?3时，f(x)在?t,t?1?上单调递增，
当t?1?4,即th(t)?f(t?1)??(t?1)2?8(t?1)??t2?6t?7;
当t当t?4?t?1,即3?t?4时，h(t)?f(4)?16;
?4时，f(x)在?t,t?1?上单调递减，h(t)?f(t)??t2?8.t
导数题型汇总
??t2?6t?7,t?3,?综上，h(t)??16, 3?t?4,
??t2?8t, t?4?y?f(x)的图象与y?g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数
（II）函数
?(x)?g(x)?f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 ??(x)?x2?8x?6lnx?m,
62x2?8x?62(x?1)(x?3)??'(x)?2x?8???(x?0),xxx当x?(0,1)时，?'(x)?0,?(x)是增函数； 当x?(0,3)时，?'(x)?0,?(x)是减函数； 当x?(3,??)时，?'(x)?0,?(x)是增函数； 当x
?1,或x?3时，?'(x)?0.
??(x)最大值??(1)?m?7,?(x)最小值??(3)?m?6ln3?15.
?当x充分接近0时，?(x)?0,当x充分大时，?(x)?0. ?要使?(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
???(x)最大值?m?7?0, ????(x)最小值?m?6ln3?15?0,所以存在实数m，使得函数
即7?m?15?6ln3.
y?f(x)与y?g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15?6ln3).
4.（预测题）证明方程x=sinx在(－∞，＋∞)内只有一个实根。 解答：设f(x)=x－sinx，即证f(x)=0只有一个实数。
因为f′(x)=1－cosx≥0，其中等号只在孤立点x=2kπ(k∈Z)时成都市立。 故f(x)在(－∞，＋∞)上是递增的。
又由于f(0)=0，故当x＞0时，f(x)＞0，当x＜0时，f (x)＜0。 因此f (x)=0只有一个实数根x=0.
5（预测题）.已知0≤x≤1，n为大于1的正整数，求证：
122n?1≤xn＋(1－x)n≤1
解答：设f(x)?xn?(1?x)n,则f?(x)?n[xn?1?(1?x)n?1]，
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令f?(x)?0，得xn?1?(1?x)n?1，由于0≤x≤1，则有x=1－x，解得x=
12
11又f()?n?1,f(0)?1,f(1)?1,经比较知f(x)在[0，1]上的最小值、最大值分别为
22热点三：运用导数解决实际问题：
122n?1，所以
122n?1≤xn＋(1－x)n≤1
学习的目的，就是要会实际应用，学生要有运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力。近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，因此要学会应用导数解决有关最优化的问题及即时速度、边际成本等问题。实际应用问题的考查必将是07年高考的又一热点. 【错解分析】
[错例4]从边长为2a 的正方形铁片的四个角各截去一小块边 为x的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个 无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形边 长的比值不超过常数t.
问：x取何值时，容积V有最大值。 误解：V 因为
'?12x2?16ax?4a2
?4(3x?a)(x?a).
2tax?t所以函数的定义域为（0，]
2a?2x1?2taa16.由问题的实际意义可知，x?时,Vmax?a3. 3327这时V在定义域内有惟一极值点x?剖析：求解函数的最值问题，应注意函数的定义域，本例由导数为0的点是否落在定义域内，引出了讨论。有时还要注意对导数为0的情形进行讨论。
正确解法：①当
a2ta1aa?,即t?时由,v'?0,解得x?,这时V在定义域内有惟一极值点x?.由问题的实际意义可知，31?2t433a16x?时,Vmax?a3.
327a2ta1②当?,即0?t?时,3x?a,这时有V??0,知V在定义域内为增函数，故当
31?2t42at2at4at28a3tx?时,Vmax?(2a?)?.
1?2t1?2t1?2t(1?2t)3【典型题例】
1.(06福建卷)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=
13x3?x?8 (0 12800080（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 47 导数题型汇总 解：（I）当x 要耗没(?40时，汽车从甲地到乙地行驶了 100?2.5小时， 4013?403??40?8)?2.5?17.5（升）。 12800080答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。 100小时，设耗油量为h(x)升， x131001280015x3?x?8).?x??(0?x?120), 依题意得h(x)?(12800080x1280x4（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 x800x3?803h'(x)???(0?x?120). 640x2640x2令h'(x)?0,得x ?80. 当x?(0,80)时，h'(x)?0,h(x)是减函数； 当x?(80,120)时，h'(x)?0,h(x)是增函数。 ?当x?80时，h(x)取到极小值h(80)?11.25. 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。 2（预测题）．A、B两队进行某项运动的比赛，以胜三次的一方为冠军，设在每次比赛中A胜的概率为 p，B 胜的概率为 q(p?q?1,p?0.q?0)，又A得冠军的概率为P，冠军的概率为Q，决定冠军队的比赛次数为N. （1）求使P－ p为最大的p值； p值及期望值。 （2）求使N的期望值为最大的 （1）要决定冠军队，至少需要比赛三次，最多需要比赛5次。 解答：如果比赛3次A获冠军，A需连胜三次，其获冠军的概率为 p3； 13如果比赛4次A获冠军，前三次有一次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为C3qp如果比赛5次A获冠军，前四次有两次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为C4q于是 P?将q?1?令 22?3p3q. p3?6p3q2.故P?p3?3p2q?6p3q2. p?p3?3p3q?6p3q2?p?f(p). p代入整理得 f(p)?6p5?15p4?10p3?p(0?p?1). f'(p)?30p2(1?p)2?1 11][p(1?p)?]?0. ?30[p(1?p)?3030即 P2?p?11414?0,解得P?(1?1?),p?(1?1?). 1222303030当0?48 p?p1时，f'(p)?0;当p1?p?p2时,f'(p)?0;当p2?p?1时,f'(p)?0.又 导数题型汇总 14limf(p)?0,limf(p)?0,故当p=(1?1?)时,f(p)?P?p最大. 2p?0p?130 （2）随机变量N的概率分布为 N Q 则E(N)?3(p 3 4 5 p3?q3 33p3q?3q3p 6p3q2?6q3p2 ?q3)?4(3p3q?3q3p)?(6q3p2) ?6p2q2?3pq?3 121?6(pq?)2?. 48p?q2112133 而 pq?()?,所以E(N)?6?()2??, 242881 这时，p?. 2 49
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