初中数学竞赛题汇编(代数部分)
———————————————————————————————— 作者: ———————————————————————————————— 日期:
初中数学竞赛题汇编
(代数部分1)
江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答
例1若m2=m+1,n2=n+1,且m≠n,求m5+n5的值。 解:由已知条件可知,m、n是方程x2-x-1=0两个不相等的根。 ∴m+n=1,mn=-1
∴m2+n2=(m+n)2-2mn=3或m2+n2=m+n+2=3 又∵m3+n3=(m+n) (m2-mn+n2)=4
∴m5+n5=(m3+n3) (m2+n2)-(mn)2(m+n)=11 例2已知
解:设 ,则
u+v+w=1……① ……②
由②得 即 uv+vw+wu=0
将①两边平方得
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1 所以u2+v2+w2=1 即
例3已知x4+x3+x2+x+1=0,那么1+x+x2+x3+x4+……x2014= 。 解:1+x+x2+x3+x4+…x2014=(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)=(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+… + x2010(1+x+x2+x3+x4)=0
例4:证明循环小数 为有理数。 证明:设 =x … ① 将①两边同乘以100,得
… ②
②-①,得 99x=261.54-2.61 即x= 。
例5:证明 是无理数。
证明(反证法):假设 不是无理数,则 必为有理数,设 = (p、q是互质的自然数) ,两边平方有 p2=2q2 … ①, 所以p一定是偶数,设p=2m(m为自然数),代入①整理得q=2m2, 所以q也是偶数。p、q均为偶数与p、q是互质矛盾,所以 不是有理数,即为有理数。
例6: ; ; 。 解:
例7:化简 (1) ; (2)
(3) ;(4) ;
(5) ; (6) 。
解:(1)方法1
方法2 设 ,两边平方得:
由此得
解之得 或 所
以 。
(2)
(3)
(4)设 ,两边平方得:
由此得 解之得
所以 = +1+
(5)设 则 所以
相关推荐: