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初中数学竞赛题汇编代数部分

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初中数学竞赛题汇编(代数部分)

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初中数学竞赛题汇编

(代数部分1)

江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答

例1若m2=m+1,n2=n+1,且m≠n,求m5+n5的值。 解:由已知条件可知,m、n是方程x2-x-1=0两个不相等的根。 ∴m+n=1,mn=-1

∴m2+n2=(m+n)2-2mn=3或m2+n2=m+n+2=3 又∵m3+n3=(m+n) (m2-mn+n2)=4

∴m5+n5=(m3+n3) (m2+n2)-(mn)2(m+n)=11 例2已知

解:设 ,则

u+v+w=1……① ……②

由②得 即 uv+vw+wu=0

将①两边平方得

u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1 所以u2+v2+w2=1 即

例3已知x4+x3+x2+x+1=0,那么1+x+x2+x3+x4+……x2014= 。 解:1+x+x2+x3+x4+…x2014=(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)=(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+… + x2010(1+x+x2+x3+x4)=0

例4:证明循环小数 为有理数。 证明:设 =x … ① 将①两边同乘以100,得

… ②

②-①,得 99x=261.54-2.61 即x= 。

例5:证明 是无理数。

证明(反证法):假设 不是无理数,则 必为有理数,设 = (p、q是互质的自然数) ,两边平方有 p2=2q2 … ①, 所以p一定是偶数,设p=2m(m为自然数),代入①整理得q=2m2, 所以q也是偶数。p、q均为偶数与p、q是互质矛盾,所以 不是有理数,即为有理数。

例6: ; ; 。 解:

例7:化简 (1) ; (2)

(3) ;(4) ;

(5) ; (6) 。

解:(1)方法1

方法2 设 ,两边平方得:

由此得

解之得 或 所

以 。

(2)

(3)

(4)设 ,两边平方得:

由此得 解之得

所以 = +1+

(5)设 则 所以

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