高中数学选修1-1知识点精华与题目讲解

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解析：选A 綈p：甲没有降落在指定范围；綈q：乙没有降落在指定范围，至少有一

位学员没有降落在指定范围，即綈p或綈q发生．

5．已知p：若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋m，则数列{an}是等差数列，当綈p是假命题时，则实数m的值为________．

解析：由于綈p是假命题，所以p是真命题．

??1＋m，n＝1，

由Sn＝n＋m，得an＝?所以1＋m＝2×1－1，解得m＝0.

?2n－1，n>1，?

2

答案：0

6．已知p：点M(1,2)在不等式x－y＋m<0表示的区域内，q：直线2x－y＋m＝0与直线mx＋y－1＝0相交，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围为________．

解析：当p是真命题时，有1－2＋m<0，即m<1； 当q是真命题时，有2＋m≠0，，即m≠－2. 又p∧q为真命题，所以p是真命题且q是真命题， 所以m<1且m≠－2，

所以实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,1)． 答案：(－∞，－2)∪(－2,1)

2?x＋a

7．已知p：－11，綈q是綈p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

1

解：由－1

21

所以綈p：x≤或x≥4，

2

??1

x≤或x≥4?； 设集合A＝?x??2

?

?

2?x＋a

由??3?>1，得x＋a<0，解得x<－a， 所以綈q：x≥－a， 设集合B＝{x|x≥－a}．

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又綈q是綈p的充分不必要条件，所以B�藺， 所以－a≥4，解得a≤－4，

所以实数a的取值范围是(－∞，－4]．

8．已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解．若p∧q是假命题，綈p也是假命题．求实数a的取值范围．

解：∵p∧q是假命题，綈p是假命题， ∴命题p是真命题，命题q是假命题． ∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，

??x1＋x2＝m，∴? ?x1x2＝－2，?

∴|x1－x2|＝?x1＋x2?2－4x1x2＝m2＋8， ∴当m＝[－1,1]时，|x1－x2|max＝3.

由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立，可得a2－5a－3≥3， ∴a≥6或a≤－1，

∴当命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.① 命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解， ①当a>0时，显然有解； ②当a＝0时，2x－1>0有解； ③当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解， ∴Δ＝4＋4a>0， ∴－1

从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时，a>－1. 又∵命题q是假命题，∴a≤－1.②

由①②得，所求a的取值范围为(－∞，－1]．

全称量词与存在量词

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预习课本P21～25，思考并完成以下问题 1．全称量词、全称命题的定义是什么？

2．存在量词、特称命题的定义是什么？

3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？

[新知初探]

1．全称量词与全称命题 全称量词 符号 全称命题 形式 2．存在量词与特称命题 存在量词 符号表示 特称命题 形式 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 ? 含有存在量词的命题 “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“?x0∈M，p(x0)” 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 ? 含有全称量词的命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)” 3．全称命题与特称命题的否定 (1)全称命题p：?x∈M，p(x)的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)；全称命题的否定是特称第 40 页 共 281 页

命题．

(2)特称命题p：?x0∈M，p(x0)的否定綈p：?x∈M，綈p(x)；特称命题的否定是全称命题．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略( ) (2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题( ) (3)“三角形内角和是180°”是全称命题( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√

2．下列全称命题为真命题的是( ) A．所有的质数是奇数 B．?x∈R，x2＋1≥1

C．对每一个无理数x，x2也是无理数

D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5 答案：B

3．命题p：?x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________.

答案：特称命题 假 ?x∈R，x2＋2x＋5≥0

全称命题与特称命题 [典例] 判断下列语句是全称命题，还是特称命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1； (4)矩形的对角线不相等；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题． (5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．