高中数学选修1-1知识点精华与题目讲解

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①当p为真q为假时，

??m>2，则?解得，2

②当p为假q为真时，

?m≤2，?则?解得m<1. ?m>3或m<1，?

综上所述，实数m的取值范围是(－∞，1)∪(2,3]．

解决此类问题的方法，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数取值范围，然

后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出

时，也可以利用綈p与p，綈q与q不能同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的范围．

层级一 学业水平达标

1．“xy≠0”是指( ) A．x≠0且y≠0 C．x，y至少一个不为0

B．x≠0或y≠0 D．x，y不都是0

解析：选A xy≠0是指x，y均不能为0，故选A. 2．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则( ) A．p或q为假 C．q真

B．q假 D．p假

解析：选B 綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．

3．已知全集U＝R，A?U，B?U，如果命题p：3∈(A∪B)，则命题“綈p”是( ) A.3?A C.3∈?UB

B.3∈(?UA)∩(?UB) D.3?(A∩B)

解析：选B 由p：3∈(A∪B)，可知綈p：3?(A∪B)，即3∈?U(A∪B)，而?U(A∪

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B)＝(?UA)∩(?UB)，故选B.

4．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A q?綈p等价于p?綈q，綈p必要条件．

q等价于綈qp，故p是綈q的充分而不

5．设a，b，c 是非零向量，已知命题p：若 a·b＝0，b·c＝0，则 a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )

A．p∨q C．(綈p)∧(綈q)

B．p∧q D．p∨(綈q)

解析：选A 对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；对于命题q：a∥b，b∥c说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．则p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题，綈q是假命题，所以(綈p)∧(綈q)

是假命题，p∨(綈q)是假命题，故选A.

6．命题“若a

解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”．

答案：若a≥b，则2a≥2b 若a

7．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．

解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．

?x2－x<6，?－2

因此，x的值可以是－1,0,1,2.

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答案：{－1,0,1,2}

8．已知条件p：(x＋1)2>4，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

解析：由綈p是綈q的充分不必要条件，可知綈p?綈q，但綈q它的逆否命题等价，可知q?p但p所以a≥1.

答案：[1，＋∞)

9．指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题，若是含逻辑联结词的命题，写出构成它的简单命题．

(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；

(2)若x∈{x|x<1或x>2}，则x是不等式(x－1)·(x－2)>0的解．

解：(1)“p且q”形式的命题，其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．

(2)“p或q”形式的命题，其中p：若x∈{x|x<1}，则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解，q：若x∈{x|x>2}，则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解．

10．命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围：

(1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙中有且只有一个是真命题． 解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0， 1

即a>或a<－1，①

3

1

乙命题为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－.②

211

(1)甲、乙至少有一个是真命题，即为a<－或a>，

23∴甲、乙至少有一个是真命题时，a的取值范围是

綈p.由一个命题与

q．又p：x>1或x<－3，可知{x|x>a}�蘽x|x<－3或x>1}，

?－∞，－1?∪?1，＋∞?.

2??3??

1

(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，

31

－1≤a<－.

2

∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围是

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?－1，－1?∪?1，1?.

2??3??

层级二 应试能力达标

1．已知p：x＋1>2，q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A 设集合A＝{x|x＋1≤2}＝{x|x≤1}，B＝{x|5x－6≤x2}＝{x|x≤2或x≥3}，由于A�藼，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.

1π

2．已知p：函数y＝sinx的最小正周期是π，q：函数y＝tan x的图象关于直线x＝对22称，则下列判断正确的是( )

A．p为真 C．p∧q为假

B．綈q为假 D．p∨q为真

解析：选C 很明显p和q均是假命题，所以綈q为真，p∧q为假，p∨q为假，故选C.

3．已知命题p：所有的有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )

A．(綈p)∨q

B．p∧q

C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)

解析：选D 由题意，得p是真命题，q是假命题，所以(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈

q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)是真命题，故选D.

4．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )

A．(綈p)∨(綈q)

B．p∨(綈q)

C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q