曲线积分及其及路径无关问题

曲线积分与路径无关问题

1. 第一型曲线积分

(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L：AB,其线密度为

?(x,y)求弧AB的质量m。

m??f(x,y)ds,

L(2)若L1?AB,L2?BA，则?f(x,y)ds=?f(x,y)ds，即对弧长的曲线积分

L1L2与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。

(3)对弧长的曲线积分的计算

?x??(t)设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为? ，

?y??(t)(??t??),其中?(t)、?(t)在??,??上具有一阶连续导数，且?'2(t)??'2(t)?0，

则曲线积分?f(x,y)ds存在，且

L?Lf(x,y)ds=?f??(t),?(t)???'2(t)??'2(t)dt (???)

??特别,当f(x,y)?1时,

?Lf(x,y)ds表示曲线弧L的弧长。

当曲线弧L的方程为y?g(x) (a?x?b)，g(x)在?a,b?上有连续的导数，则

?Lf(x,y)ds=?f?x,g(x)??1?g'2(x)dx；

ad?x?x把线弧L的方程为y?f(x)化作参数方程?，(a?x?b)，

y?g(x)??

Lf(x,y)ds=?f?h(y),y??1?h'2(y)dy (c?y?d)

cd2. 第二型曲线积分

(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场F(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j，其中P(x,y),Q(x,y)为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A沿光滑曲线

L运动到点B，求力场的力所作的功W。

W??P(x,y)dx?Q(x,y)dy，

L(2)设L为有向曲线弧，?L为与L方向相反的有向曲线弧，则

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy???L?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy

即第二型曲线积分方向无关

?x??(t) (3)设xoy平面上的有向曲线L的参数方程为? ，当参数t单调地由??y??(t)变到?时,曲线的点由起点A运动到终点B,?(t)、?(t)在以?及?为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且?'2(t)??'2(t)?0，函数P(x,y)、Q(x,y)在L上连续，则曲线积分?P(x,y)dx?Q(x,y)dy存在，且

L?L?'(t)?dt P(x,y)dx?Q(x,y)dy=??P??(t),?(t)??'(t)?Q??(t),?(t)???这里的?是曲线L的起点A所对应的参数值，?是曲线L的终点B所对应的参数值，并不要求???。

若曲线L的方程为y?f(x),x?a对应于L的起点，x?b应于L的终点，则

?Ldx； P(x,y)dx?Q(x,y)dy=??P?x,f(x)??Q?x,f(x)?f'(x)?ba若曲线L的方程为x?g(y),y?c对应于L的起点，y?d应于L的终点，则

?Ldy。 P(x,y)dx?Q(x,y)dy=??P?g(y),y?g'(y)?Q?g(y),y??dc同样，以上并不要求a?b，c?d。

公式可推广到空间曲线C上对坐标的曲线积分的情形， 若空间曲线L的参数方程为x??(t),y??(t),z??(t)，则

?=

CP(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

??P??(t),?(t),?(t)??(t)?Q??(t),?(t),?(t)??(t)?R??(t),?(t),?(t)??(t)?dt这里

?'''?下限?为曲线C的起点所对应的参数值，上限?为曲线C的终点所对应的参数值。

例1 计算?xydx?ydy，其中

L(1)L为抛物线y2?x上从点A(1,?1)到点B(1,1)的一段弧。 (2)L为从A到点B的直线段.

解法1 (1)由y2?x知y不是x的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用公式（3），这里x?y2，y从?1变到1，于是

11422'4y?y?(y)?ydy4ydy===。 xydx?ydy??1?0?L5??解法2 当把曲线L分成AO与OB两部分时，在每一部分上y都是x的单值函数。在AO上y??x，x由1变到0；在OB上，y?x，x由0变到1。于是

?xydx?ydy=?LOA0xydx?ydy+?xydx?ydy

OB=?x(?x)?(?x)(?x)'dx+?xx?x(x)'dx

10??1??=?011114(?x?)dx??(x2?)dx=

0225323(2) 直线AB的方程为x?1,dx?0,y从?1到1,于是

?Lxydx?ydy=?ydy=0

?11从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等. 3. 格林公式及其应用

格林公式: 设平面闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则

??(D?Q?P?)dxdy???Pdx?Qdy

L?x?y其中L?是D的正向边界曲线。

在公式(1)中取P??y,Q?x，可得2??dxdy???xdy?ydx，

DL上式左端为闭区域D的面积A的两倍，因此计算有界闭区域的D面积的公式为:

A?12?L?xdy?ydx。

例2 计算星形线x?acos3t,y?asin3t所围图形的面积. 解 由公式(2)得

A?1xdy?ydx ??L212?=?[acos3t?3asin2tcost?asin3t?3acos2t(?sint)]dt 203a2=2?2?03sin2tcos2tdt=?a2.

8例3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族y?asinx中，求一条曲线Ｃ，使沿该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分?(1?y3)dx?(2x?y)dy的值最小。

C解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。 令C0:y?0,x:??0，即AO直线段。

?C(1?y3)dx?(2x?y)dy??0C?c0(1?y3)dx?(2x?y)dy??(1?y3)dx?(2x?y)dyC0???(2?3y2)dxdy??(1?03)dx??dx?D?asinx0?0(2?3y2)dy?????43a?4a。 38用一元函数极值的方法得a?1时达到最小值??。

34. 平面曲线积分与路径无关的条件

从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关；

定义：（曲线积分与路径无关问题）设D是xoy平面上的一个开区域，P(x,y)以及Q(x,y)在D内具有一阶阶连续偏导数.如果对D内任意两点A与B，以及D内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2，恒有?Pdx?Qdy=?Pdx?Qdy，则称

L1L2曲线积分?Pdx?Qdy在D内与路径无关。

L定理：以下条件等价

(1) 在区域D内曲线积分与路径无关的充分； (2) D内沿任一闭曲线的积分为零；

(3) 设开区域D是一个单连通域，函数P(x,y)以及Q(x,y)在D内具有一阶连