自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。
应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围
3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。
方程的根的问题：
2f(x)?ax?bx?c(a?0)，且f(x)?x没有实数根．那么f(f(x))?x是1. 已知函数
否有实数根？并证明你的结论．（08交大）
2. 设f(x)?(1?a)x?x?(3a?2)x?4a，试证明对任意实数a： （1）方程f(x)?0总有相同实根； （2）存在x0，恒有f(x0)?0．（07交大）
3.（06交大）设k?9,解方程x?2kx?kx?9k?27?0
4. （05复旦）在实数范围内求方程：410?x?47?x?3的实数根．
5.（05交大）x3?ax2?bx?c?0的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值．
3224326. 解方程：．求方程x?x?2x?
凸函数问题
?2x?23x（n重根）的解．(09交大)
1. (2009复旦)
如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x，y都满足 f(x?yf(x)?f(y)，则称这个函数时下凸函数，下列函数
)?22（1）（3）（4）
f(x)?2x （2）f(x)?x3
f(x)?log2x（x?0）
?x,x?0, f(x)???2x,x?0,中是下凸函数的有-------------------。
A．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
?），且x1≠x2，下列不等式中成立的是： 2x?x2x?x211 (1)（tanx1+tanx2）>tan1; (2) （tanx1+tanx2） 2222x?x2x?x211 (3)（sinx1+sinx2）>sin1; (4) （sinx1+sinx2） 22222. （06复旦）设x1,x2∈（0， A． (1),(3) B．(1),(4) C．(2),(3) D．(2),(4) ?3.（09，清华）x?0,y?0,x?y?1,n?N,证明：x2n?y2n?22n?1 1 柯西不等式 设a1，a2，?，an及b1，b2，?，bn为任意实数，则(a1b1?a2b2???anbn)22222?(a12?a2???an)(b12?b2???bn)，当且仅当aa1a2????nb1b2bn (规定ai?0时，bi?0)时等号成立。22?的最小值是______________． xy2. 已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值。 3．P为△ABC内一点，它到三边BC、CA、AB的距离分别为d1,d2,d3，S为△ABC的面积， 1．(03交大)已知x,y?R，x+2y＝1，则 ?abc(a?b?c)2求证：?．（09南大） ??d1d2d32S4. 给定正整数n和正常数a，对于满足不等式a1?an?1?a的所有等差数列a1,a2,a3,…, 2n?122和式 i?n?1?a的最大值=_______.（07复旦） iA. 10a(n?1); 2B. 10a5an; C.(n?1); 22D. 25a n. 2 25. （07复旦）当a和b取遍所有实数时，则函数f(a,b)?(a?5?3cosb)?(a?2sinb)所能达到的最小值为_____________. A.1; B.2; C.3; D.4. 基础题 ex1. 求f(x)?的单调区间及极值.(2007年清华) x2.设正三角形T1边长为a，Tn?1是Tn的中点三角形， An为Tn除去Tn?1后剩下三个三角形内切圆面积之和. 求limn???Ak?1nk.(2007年清华) 3. 圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4， 求ABCD的外接圆半径．(北大2009) 4. 已知一公差为正整数无穷项等差数列，其中有3项：13，25，41． 求证：2009为数列中一项．（2009，北大） 5. 求最小正整数n，使得I?(?12123i)n为纯虚数，并求出I．(06,清华) 6. 已知a、b为非负数，M?a?b,a?b?1，求M的最值．(06,清华) 447. 已知sin?、sin?、cos?为等比数列，求sin?、cos?为等差数列，sin?、cos2??1cos2?的值．(06,清华) 28. 比较log2425与log2526的大小并说明理由．（04复旦） 9. 求证：边长为1的正五边形对角线长为 5?1（08北大）. 210. 四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC。 （1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形。 （2）设底面为BCD，设另外三个面与面BCD所形成的二面角为α，β，γ。 求证：cosα+cosβ+cosγ=1。 11.（09清华）（1）x?0,y?0,x?y?1,n?N?,证明：x2n?y2n?22n?1 1（2）已知x，y，z>0，a，b，c是x，y，z的一个排列。求证：12. 求所有3项的公差为8的自然数数列，满足各项均为素数。 13. 求所有满足tanA?tanB?tanC?[tanA]?[tanB]?[tanC] 的非直角三角形（这里?x?表示不超过x的最大整数） abc???3。 xyz(2009年南京大学自主招生试题) 14. 求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积(06，清华)。 15. 5?15?1的整数部分为A，小数部分为B。 （1）求A,B； （2）求A2?B2?（3）求lim(B?B?n??22AB； 2?Bn)。（09，清华） 16．（09复旦）.定义全集X的子集A ?X的特征函数为 Xf?1,x?A,这里， C(x)??A?0,x?CXA,A表示A在X中的补集。那么， ?X，下列命题中不准确的是_______________. A．A?B?f(x)≤f(x)，?x?X 对A，B ABB．c. D. fCXAA?B(x)?1?fA(x)B，?x?X ff(x)?(x)fA(x)(x)f+ (x)，?x?X BA?B?fAf(x)，?x?X 17．（09复旦）.半径为R的球内部装4个有相同半径r的小球，则小球半径r的最大可能值是_______________。 A．32?3R B. 63?6R nC. 15 R D．R1?32?5??a1x?a0， 中等题 18. 给出一个整系数多项式f(x)?anx?an?1xn?1使f(x)?0有一个根为2?33（2009清华） 19.．通信工程中常用n元数组(a1,a2,a3,……an)表示信息，其中ai?0或1，i、n?N．设 u?(a1,a2,a3……a)n，v?(b1,b2,b3……bn)，d(u,v)表示u和v中相对应的元素不同的 个数． （１）u?(0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)?1； （２）u?(1,1,1,1,1)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)?3； （３）令w?(0,0,0……0)，u?(a1,a2,a3……an)，v?(b1,b2,b3……bn)， n个0求证：d(u,w)?d(v,w)?d(u,v)．（08交大） 20．证明：若f（f（x））有唯一不动点，f（x）也有唯一不动点（09交大） 21. 已知A(?1,?1)，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线xy?1(x?0)一支上. (1)求证B、C关于直线y?x对称； (2)求△ABC的周长.(07,清华) 22. 是否存在实数x，使tanx?3,cotx?3均为有理数？(09，北大) 2M?R23．对于集合，称M为开集，当且仅当?P0?M，?r?0， 使得{P?R2PP0?r}?M. 判断集合{(x,y)4x?2y?5?0}与{(x,y)x?0,y?0}是否 为开集，并证明你的结论.(2007年清华)。 24.{an}首项为a,公差为b,?bn?首项为b1,公比为a(a,b?N*)且a1?a?b1?b?a2?b2?a3(1)求a的值.(2)若?m,n?N*使am?1?bn,求b的值.(3)在(2)的条件下,求?ai.i?1m 4x?1??2??n?1?25．定义在R上的函数f?x??x，Sn?f???f?????f?? n=2,3,… nnn4?2??????(1) 求Sn； (2) 是否存在常数M>0，?n?2，有 11??S2S32?1?M．（05复旦） Sn?126．已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x?y上，试求AB的中点M到y轴的最短距离和此时M点的坐标．（07交大） 27．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面？并证明。（抛物线内部指焦点所在的一侧）（09清华） 2?1，aN?1且aN?1?1，其中N??2,3,4,28． 数列?an?满足an?1?2an? ①求证：a1?1； a1?cosk??k?Z?2N?2。 ② 求证： a3?2a4229.(03交大)求证：a?3a?1为最简分式． 30.（04复旦）若存在M，使任意t?D（D为函数f(x)的定义域），都有f(x)?M，则称函数f(x)有界．问函数f(x)?111sin在x?(0,)上是否有界？ xx2
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