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22.2 第5课时 直角三角形相似的判定方法
知|识|目|标
1．通过计算、观察、推理等过程，理解并掌握两个直角三角形相似的判定定理，并能恰当地选择判定三角形相似的方法解决问题．
2．通过对相似三角形判定方法和相似三角形的性质的理解和掌握，灵活选用合适的判定方法解题．
目标一 会用斜边和一直角边对应成比例判定两个直角三角形相似
例1 ［教材补充例题］根据下列条件判断Rt△ABC和Rt△A′B′C′是否相似，其中∠C＝∠C′＝90°.
(1)AC＝14 cm，BC＝6 cm，A′C′＝7 cm，B′C′＝3 cm；
(2)AB＝6 cm，AC＝3 cm，A′B′＝30 cm，A′C′＝15 cm.
例2 ［教材补充例题］如图22－2－17，已知AB⊥BD，ED⊥BD，B，D分别为垂足，C是线段BD的中点，ED＝1，AC＝2 5，BD＝4.试说明：△ABC∽△CDE.
图22－2－17
【归纳总结】直角三角形相似的判定定理中的“三注意”： (1)两个三角形必须都是直角三角形才能使用该定理；
(2)注意分清楚直角边的对应关系，若没有明确说明，则需要分类讨论； (3)相似三角形的判定定理同样适用于直角三角形相似的判定． 目标二 能选用合适的方法判定三角形相似
例3［ 教材补充例题］如图22－2－18，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F.
求证：AC·CF＝BC·DF.
图22－2－18
【归纳总结】证明“等积式”的“口诀”： 等积式化比例式，横找竖看定相似． 不相似，莫生气，等比线来代替． 说明：“横找”即看比例式中两边的比的前项确定的三角形与后项确定的三角形是否相似；“竖看”即看比例式中左边的比的前后两项确定的三角形与右边的比的前后两项确定的三角形是否相似．
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知识点一 直角三角形相似的判定定理
(1)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边________________，那么这两个直角三角形相似．
(2)判定直角三角形相似的方法：①定理1，②定理2，③定理3，④斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
[点拨] 直角三角形相似的判定方法：
知识点二 三角形相似的判定方法的综合应用
有平行截线——选用平行线的性质找等角 ??另一对等角，有一对等角，找? ?该夹角的两边对应成比例?三角形 相似的 判定 思路 夹角相等，??有两边对应成比例，找?第三边也对应成比例， ??有一对直角??一对锐角相等，直角三角形，找? ?斜边、直角边对应成比例?顶角相等，??等腰三角形，找?一对底角相等， ??底和腰对应成比例 （续表）
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几 种 常 见 的 图 形 注：对于第5条双垂图中有：①AB＝BD·BC；②AC＝CD·BC；③AD＝BD·CD 2但对于第6条拓展型中仅有AC＝CD·BC. 222
如图22－2－19，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝6，AD＝2.当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？
小林同学的解答过程如下：
解：在Rt△ABC和Rt△ACD中，若＝
ADAC26
，则Rt△ABC∽Rt△ACD.∴＝，解得ABACAB6AB＝3.
故当AB＝3时，Rt△ABC∽Rt△ACD.
小林给出的解法你认为正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．
图22－2－19
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教师详解详析
【目标突破】
例1 [解析] (1)先求出两边成比例，再由夹角相等，即可得出△ABC∽△A′B′C′； (2)求出斜边和一条直角边对应成比例，即可得出Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 解：(1)∴△ABC∽△A′B′C′.理由如下： ∵
AC14BC6ACBC
＝＝2，＝＝2，∴＝. A′C′7B′C′3A′C′B′C′
又∵∠C＝∠C′＝90°，∴△ABC∽△A′B′C′. (2)Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.理由如下： ∵
AB65AC35ABAC
＝＝，＝＝，∴＝.又∠C＝∠C′＝90°，A′B′A′B′A′C′305A′C′155
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
例2 [解析] 要说明△ABC与△CDE相似，通过已知并结合图形，观察可知这两个三角形已经具备一对对应角相等，即∠B＝∠D＝90°，那么再求出斜边和一条直角边对应成比例即可．
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°.
又∵C是线段BD的中点，BD＝4，
∴BC＝CD＝2，∴CE＝CD＋DE＝5. ∵AC＝2 5，BC＝2，
∴AC∶CE＝BC∶DE＝2∶1， ∴△ABC∽△CDE.
例3 证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点， ∴CE＝EB＝DE，∴∠B＝∠BDE＝∠FDA.
∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAB＝90°， ∴∠B＝∠ACD，∴∠FDA＝∠ACD. 又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD， DFAD∴＝. CFCD
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B， ADAC
∴△ACD∽△CBD，∴＝，
CDBCDFAC
∴＝，即AC·CF＝BC·DF. CFBC【总结反思】
2
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[小结] 知识点一 对应成比例
[反思] 不正确，考虑问题不全面，丢掉了一种情况．正确的解答过程如下： 分两种情况考虑：
(1)在Rt△ABC和Rt△ACD中， ABAC
若＝，则Rt△ABC∽Rt△ACD， ACAD∴AB
6
＝，解得AB＝3. 62
故当AB＝3时，Rt△ABC∽Rt△ACD. (2) 在Rt△ACD中，CD＝AC－AD＝
AB6
62
2
2
(6)
2
ABAC2
－2＝2.若＝，则Rt△ABC∽RtACCD
△CAD，∴＝，解得AB＝3 2.故当AB＝3或3 2时，Rt△ABC与Rt△ACD相似．
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