概率论 自测练习题参考答案

第三章 自测练习题A

1. （1）0 （2） ,8123 (3)12??10e?(x?4)2002, ???x???.

??0, y ? 0,??0, x?1,?1?(4) fX(x)??lnx fY(y)??, ? 0y? 1,?2?2, x?1.?x?1 ?1.?2y2, y??2e?2y, 0?x?1,y?0,5(5) f(x,y)?? (6)

7?0, 其它.2. 解 (X,Y)的联合概率密度为

?1?, 0?x?3,0?y?3, f(x,y)??9?0, 其它.?由密度函数的性质，知

P?X?Y????x?yf(x,y)dxdy?1?930dx?dy?x31?930(3?x)dx?12

3. 解 X的取值为0，1，2，3，Y的取值为0，1，2，3。由古典概型的概率计算公

式可得 Y X 0 1 2 3 4. 解 由于p11?p13?p1??p11?p12?p?2?120 0 0 3702701814??1 0 97018703702 37018709703 270370 124 161240 0 16?1240 ，由于p1??，所以p11??18?112，故p1??14?p?2?1418，

，从而可得

，因为p1??p?2?p12，即

。

p22?p?2?p12?p23?p?3?p13?1213??18112?38，p?3?1?p?1?p?2?1?，P2??p23p?3?141316??3412?13，

?14。

5. 解 利用分布函数法，先求 Z?2X?Y的分布函数。

FZ(z)?P?Z?z??P?2X?Y?z?，

显然，当

z?0时，FZ(z)?0，从而fZ(z)?0；当0?z?2时

zFZ(z)?P?2X?Y?z????2x?y?zfX(x)fY(y)dxdy??20dx?z?2x0?yedy

z??1220(1?e?z?e2x)dx?z2?e?z?1z1?z1?z1?e????e?,

2?222?2所以

fZ(z)??12e?z?12(1?e?z)。

当z?2时，有

FZ(z)?12??2x?y?z2fX(x)fY(y)dxdy??10dx?z?2x0e?ydy

?1?(e?1)e?z，

所以

fZ(z)?12(e?1)e2?z。

由此可得

??0, z?0,??1?zfZ(z)??(1?e), 0?z?2,

?2?12?z(e?1)e, z?2.??26. 解

?1?, (x,y)?G,f(x,y)??2

?0, (x,y)?G.?又S?XY，由分布函数法，有

FS(s)?P?S?s??P?XY?s?，

当s?0时，FS(s)?0，从而fS(s)?0；当s?0时，有

FS(s)?P?XY?s????xy?sf(x,y)dxdy

当0?s?2时，有 FS(s)?P?XY?s??s2s2??xy?sf(x,y)dxdy??s0dx?1012dy??2ssdx?x012dy

??(ln2?lns)，

由此得

fS(s)?12?12ln2?12lns?12?12(ln2?lns)。

当s?2时，有FS(s)?1，故fS(s)?0。 由此可得S的分布密度函数为

?1?(ln2?lns), 0?s?2,fS(s)??2

?0, 其它.?

自测练习题B

1. (1)B (2)A (3)D (4)C (5)D (6)B

2. 解 X的可能的取值为1，2，3，Y的可能的取值为0，1，2，3。由古典概型的概率计算公式及独立性可得

P?X?1,Y?0??C3?C2C51312?C5C833?3562，P?X?1,Y?1??C3?C2C5312?C5?C3C82321?956，

P?X?1,Y?2??C3?C2C2352?C5?C3C3381?9112，P?X?1,Y?3??2C3?C2C1351?C3C338?3560，

C?CCC3?C2C4?C439，， P?X?2,Y?0??332?4?PX?2,Y?1?????333C5C870C5C835C?CC?CC?CC93P?X?2,Y?2??332?434?，P?X?2,Y?3??332?43?，

C5C835C5C870P?X?3,Y?0??C3C3211221312135?C3C338?15601，P?X?3,Y?1??C3C335?C5?C3C333812?3112156，

P?X?3,Y?2??C3C533?C5?C3C832?356，P?X?3,Y?3??C3C5?C5C833?。

由此得(X,Y)的联合分布律如下：

Y X 1 2 3 0 356 370 1560 1 956 935 3112 2 9112 935 356 3 3560 370 156 又?X2?Y2?5???X?1,Y?0???X?1,Y?1???X?1,Y?2?

??X?2,Y?0???X?2,Y?1?

所以

P?X2?Y2?5??P?X?1,Y?0??P?X?1,Y?1??P?X?1,Y?2?

?P?X?2,Y?0??P?X?2,Y?1?

?356?956?9112?370?935?333560