湖水的自我净化问题
摘 要
本题是一容积为V的大湖受到某种物质污染，从某时刻起污染源被切断，湖水开始更新，更新速率为r，建立求污染物浓度下降至原来的3%需要多长时间的数学模型问题。解决本问题需要用到微元法的思想，也就是在很小的时间内流出的湖水污染物浓度不变，然后利用湖水污染物的变化量等于流出湖水的污染量建立等式关系，对该等式求导后得出一个微分方程，利用Matlab中dsolve函数解该微分方程，求得污染物浓度下降至原来的3%所需时间为440.4天。本模型涉及到解微分方程，所以模型的应用很广泛，可以应用到动态分析问题中，利用该模型可以解决大量实际生活和生产问题。
关键词：微元法；微分方程；动态分析；Matlab
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一、问题重述
1.1背景资料与条件
有一容积为V（单位：m）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r（单位：m3/d）。试建立求污染物浓度下降至原来的3%需要多长时间的数学模型。 1.2需要解决的问题
在湖的容积为5.176*10^12(m3)，湖水更新速率为4.121*10^10(m3/d)的条件下，求污染终止后，污染物下降到原来的3%所需的时间。
3二、基本假设
2.1模型的假设
1) 假设一：湖水保持体积V不变。
2) 假设二：污染物始终均匀的分布在湖中。（假设合理性见背景资料与条件。） 3) 假设三：在很小的时间内污染物浓度不变。（微元法思想） 2.2本文引用数据、资料均真实可靠。
三、符号说明
3.1模型的符号说明
A:w(t):t时刻湖区的污染物浓度。
B:w(0):表示初始时刻湖中水的污染浓度。 C: t为污染源切断后湖水更新的时间(单位：天)。
四、模型的建立与求解 4.1模型的建立
从开始到t天内湖水含污染物改变量为：
Vw(0)?Vw(t)
由于流入湖中的水没有污染物，所以t天内更新流出污染物量为：
?w(t)rdt
0t利用湖水污染物的变化量=流出湖水的污染量得：
Vw(0)?Vw(t)??w(t)rdt
0t对t求导得微分方程为：
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Vdw(t)??w(t)r, dt变换后可得：
dw(t)?w(t)r?， dtV然后利用Matlab中dsolve函数求解微分方程，代入w(t)?3%w(0)求得时间t。
4.2模型的概述
本题是利用微元法的思想，通过利用湖水污染物的变化量等于流出湖水的污染量列出等式，然后求导变成微分方程，接着通过Matlab中dsolve函数求解微分方程，最后通过代入条件求得时间t。 4.3模型的运用与求解
tdw(t)?w(t)r由Vw(0)?Vw(t)??w(t)rdt对t求导后得,再利用Matlab中dsolve?0dtV函数求解此微分方程，Matlab运行后得 w =C2/exp((r*t)/V)，在Matlab中编写程序求解t，代入条件求得结果，对湖水的自我净化过程作图（如图1）（程序见附录）。
100908070605040302010001002003004005006007008009001000
图1
其中横坐标为时间t（单位：天），纵坐标为w(t)关于w(0)的百分比。红色星号表示污染浓度降到原来的3%时的点。从图中可以看出湖水自我净化速率呈下降趋势。
4.4模型的结果
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