【高考】数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题六解析几何第一讲直线与圆适考素能特训理

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【高考】数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题六解析几何第一讲直线与圆适考素能特

训理

一、选择题

1．[2015·湖南岳阳一模]已知圆C：x＋(y－3)＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点．若|PQ|＝23，则直线l的方程为( )

A．x＝－1或4x＋3y－4＝0 B．x＝－1或4x－3y＋4＝0 C．x＝1或4x－3y＋4＝0 D．x＝1或4x＋3y－4＝0 答案 B

解析 当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直|－k＋3|

线l的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝23，则圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得

k2＋1

2

2

k＝，此时直线l的方程为y＝(x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.

2．[2016·重庆测试]已知圆C：(x－1)＋(y－2)＝2与y轴在第二象限所围区域的面积为S，直线y＝2x＋b分圆C的内部为两部分，其中一部分的面积也为S，则b＝( )

A．－6 C．－5 答案 D

解析 本题考查圆的性质、点到直线的距离公式与数形结合思想．依题意圆心C的坐标为(1,2)，则圆心C到y轴的距离为1，由圆的对称性可知，若直线2x－y＋b＝0分得圆C内部的一部分面积也为S，则圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离等于1，于是有|2×1－2＋b|

＝1，解得b＝±5，故选D. 5

3．[2016·南昌一模]已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0

B．±6 D．±5

2

2

4343

y0x0

?1?A.?－，0? ?3??1?C.?－，＋∞? ?3?

答案 D

?1?B.?－，0?

?3?

1??D.?－∞，－?∪(0，＋∞) 3??

|x0＋3y0－2||x0＋3y0＋6|

解析 本题考查点到直线的距离、直线的斜率．由题意得＝，

1010整理得x0＋3y0＋2＝0.又y0

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y0

x0

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1?1y0?kOM>0，当点位于射线BN(不包括端点B)上时，kOM<－，所以的取值范围是?－∞，－?∪(0，3?3x0?＋∞)，故选D.

4．[2016·金版原创四]倾斜角互补的直线l1：m1x－y＋1－m1＝0，l2：m2x－y＋1－m2＝0分别被圆O：x＋y＝4所截得的弦长之比为

1

A．－9或－

9C．－9 答案 A

解析 本题考查直线与圆的位置关系．由题可知两条直线斜率分别为m1，m2，又两直线的倾斜角互补，所以斜率互为相反数，即m1＋m2＝0，被圆O：x＋y＝4所截得的弦长之比为22

1－m1

4－

m21＋14－

1＋m12m1＋1

2

2

2

2

2

6

，则m1m2＝( ) 2

1

B．9或

91D．－

9

2＝61122

，化简得3m1－10m1＋3＝0，解得m1＝或3，所以m1m2＝－m1＝－或239

－9，故选A.

5．[2016·广东综合测试]已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x＋y＝4交于不同的两点A，

2

2

B，O是原点，且有|OA＋OB|≥

A．(3，＋∞) C．[2，22) 答案 C

→→

3→

|AB|，则k的取值范围是( ) 3

B．[2，＋∞) D．[3，22]

解析 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB的中点为D，则OD⊥AB，3→3→→→→→→→21→2

因为|OA＋OB|≥|AB|，所以|2OD|≥|AB|，|AB|≤23|OD|，又因为|OD|＋|AB|＝4，

334→→22

所以|OD|≥1.因为直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x＋y＝4交于不同的两点，所以|OD|<2，所以

?|－k|?1≤??<2，解得2≤k<22，故选C. ?2?

6．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x－2ax＋y＋a－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－2，则a的值为( )

A．1 C．1或－5 答案 C

解析 解法一：圆的标准方程为(x－a)＋y＝1，圆心M(a,0)到直线AB：x－y＋2＝0的|a＋2|

距离为d＝，

2

可知圆上的点到直线AB的最短距离为d－1＝

|a＋2|

2

1

－1，(S△ABC)min＝×22

2

2

2

2

2

2

B．－5 D．5

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|a＋2|－2

2

×＝3－2，

解得a＝1或－5.

解法二：圆的标准方程为(x－a)＋y＝1，设C的坐标为(a＋cosθ，sinθ)，C点到直线AB：x－y＋2＝0的距离为

2

2

d＝

?2sin?θ－π?＋a＋2?????4?|a＋cosθ－sinθ＋2|???

2

＝

2

，

△ABC的面积为

1

2

S△ABC＝×22×?2sin?θ－π?＋a＋2????4?????

2

π????＝?2sin?θ－?＋a＋2?， 4????

当a≥0时，a＋2－2＝3－2，解得a＝1； 当－2≤a<0时，|a＋2－2|＝3－2，无解； 当a<－2时，|a＋2＋2|＝3－2，解得a＝－5. 故a＝1或－5.

解法三：设与AB平行且与圆相切的直线l′的方程为x－y＋m＝0(m≠2)，圆心M(a,0)到直线l′的距离d＝1，即

|a＋m|

＝1，解得m＝±2－a， 2

两平行线l，l′之间的距离就是圆上的点到直线AB的最短距离， 即

|m－2||±2－a－2|

＝， 22

1|±2－a－2|(S△ABC)min＝×22×＝|±2－a－2|.

22当a≥0时，|±2－a－2|＝3－2，解得a＝1. 当a<0时，|±2－a－2|＝3－2，解得a＝－5. 故a＝1或－5. 二、填空题

7．[2015·福建厦门一模]已知a>0，b>0，若直线l1：x＋ay＋2＝0与直线l2：(a＋1)x－by＋3＝0互相垂直，则ab的最小值是________．

答案 2

2

2

a2＋1a2＋1

解析 依题意可得，1×(a＋1)＋a·(－b)＝0，a－ab＋1＝0，∴b＝2，∴ab＝

aa2

2

2

2

1

＝a＋≥2.

a1

当且仅当a＝，即a＝1，b＝2时，ab取到最小值2.

a8．[2015·云南统考]已知f(x)＝x＋ax－2b，如果f(x)的图象在切点P(1，－2)处的

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