第17课时-三角函数的应用(1)

第17课时 三角函数的应用(1)

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学习要求 1．会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期现象的重要模型.

2．培养学生的逻辑思维能力和运算能力. 【课堂互动】 自学评价

1、三角函数可以作为描述现实世界中

________________现象的一种数学模型. 2、是以_________________ 为周期的波浪型曲线. 【精典范例】 例1．

如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处开始计时. （1）求物体对平衡位置的位移(cm)和时间t(s)之间的函数关系； （2）求该物体在t=5s时位置.

分析：

这是一个物理问题，简谐运动的物体对平衡位置的位移(cm)和时间t(s)之间的函数关系x=.

【解】

（1）设和之间的函数关系为

则由，可得， 当时，有， 即

又，故可得，

所以所求函数关系为： 即 .

（2）令，得

故该物体在时的位置是在O点的 左侧且距O点处.

点评:

三角函数在物理中有比较多的应用，物理 中的单摆运动、波的传播、交流电等内容 可用三角函数来分析理解. 追踪训练一

1、点Ｏ为做简谐运动的物体的平衡位置， 取向右的方向为物体位移的正方向． 若已知振幅为５ｃｍ，周期为４ｓ， 且物体向右运动到平衡位置时开始计时． （１）求物体对平衡位置的位移ｘ（ｃｍ） 和时间ｔ（ｓ）之间的函数关系； （２）求该物体在ｔ＝７．５ｓ时的位置． 【解】

（1）

（2）在平衡位置的左方，且距平衡位置

2、某城市一年中１２个月的月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描述．已知６月份的月平均气温最高，为２９．４５℃，１２月份的月平均气温最低，为１８．３℃．求出这个三角函数的表达式，并画出该函数 的图象． 【解】 略

例2．

一半径为3水轮如图所示，水轮圆心

O距离水面，已知水轮每分钟转动四周，如果当水轮上点P从水中浮现时 （图中点P0）开始计算时间．

(1) 将点P距离水面的高度表示为时间的函数； (2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？

分析：

这是一个圆周运动的问题，圆周运动是 现实生活中的周期问题，它可以用三角 函数模型来解决，三角函数模型是描述 周期现象的重要模型．

【解】

(1) 不妨设水轮沿逆时针方向旋转，上图，建立平面直角坐标系． 设角是以为始边，

OP为终边的角，由OP在内所转过 的角为，可知以OX

为始边，OP为终边的角为， 故P点纵坐标为，则 当时，，可得

因为 ∴ ，

故所求函数解析式为：

(2)令，得

取 解得．

故点P第一次到达最高点大约需要

追踪训练二

一个悬挂在弹簧上的小球，被从它的静止

位置向下拉0.2米的距离，然后停止，如果此小球在被放开并允许振动，在 时又首次回到开始振动的位置， ①求出此小球运动的一个函数关系式； ②求当秒时小球所在的位置？ 【解】 ①

②在静止位置的上方0.2米处

如图，点P是半径为rcm的砂轮边缘上的

一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时 针方向以角速度 rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于t的函数关系，并求点的运动周期和频率． 【解】

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