高中数学竞赛讲义（六） ──三角函数
一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α
|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为
r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割
函数secα=,余割函数cscα=
定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=
；商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×
sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-
α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin=cosα,
cos=sinα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区
间上为增函数，在区间上为减函数，最小正
周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,
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y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值
域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对
称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ
时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上
为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α
β)=cosαcosβ
，0）均为其对
sinαsinβ,sin(α
β)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)=
定理7 和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
tan2α=
定理9 半角公式:sin=,cos=,
tan==
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定理10 万能公式: , ,
定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b2
0，则取始边在x轴正半轴，终边经过
点(a, b)的一个角为β，则sinβ=
asinα+bcosα=
sin(α+β).
,cosβ=，对任意的角α.
定理12 正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分
别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得
y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()
的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(
x+
)(
>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，
x+
)(
,
>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移
得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(
个单位得到y=Asinx的图象。
定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，
函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx
的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的
反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kx
arccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是
{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.
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定理16 若，则sinx 二、方法与例题 1．结合图象解题。 例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。 2．三角函数性质的应用。 例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。 【解】 若，则cosx≤1且cosx>-1，所以cos， 所以sin(cosx) ≤0,又0 若，则因为sinx+cosx=(sinxcos+sin cosx)=sin(x+)≤<， 所以0 所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx). 综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx) 例3 已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证： 【证明】 若α+β>，则x>0，由α>-β>0得cosα 所以0<<1，又sinα>sin(-β)=cosβ, 所以0<<1， 所以 若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0, 所以>1。又0 讲义六 4 / 13 所以，得证。 注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3．最小正周期的确定。 例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其 次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）, sin(2cosπ)，所以T0=2π。 所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2 4．三角最值问题。 例5 已知函数y=sinx+ ，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令sinx=, 则有y= 因为，所以， 所以≤1， 所以当，即x=2kπ- (k∈Z)时，ymin=0， 当，即x=2kπ+ (k∈Z)时，ymax=2. 【解法二】 因为y=sinx+, =2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)）， 且|sinx|≤1≤ ，所以0≤sinx+ ≤2， 所以当=sinx，即x=2kπ+ (k∈Z)时, ymax=2， 当=-sinx，即x=2kπ- (k∈Z)时, ymin=0。 例6 设0<<π，求sin的最大值。 讲义六 5 / 13 【解】因为0<<π，所以，所以sin>0, cos>0. 所以sin（1+cos）=2sin ·cos2 = ≤ = 当且仅当2sin2=cos2 , 即tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大 值。 例7 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。 【解】 因为sinA+sinB=2sincos, ① sinC+sin, ② 又因为③ ， 由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin, 所以sinA+sinB+sinC≤3sin=, 当A=B=C= 时，（sinA+sinB+sinC）max=. 注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5．换元法的使用。 例8 求的值域。 讲义六 6 / 13 【解】 设t=sinx+cosx= 因为所以 又因为t2=1+2sinxcosx, 所以sinxcosx=，所以， 所以 因为t-1，所以，所以y-1. 所以函数值域为 例9 已知a0=1, an=(n∈N+)，求证：an>. 【证明】 由题设an>0，令an=tanan, an∈ ，则 an= 因为 ，an∈，所以an=，所以an= 又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以·。 又因为当0 注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当x∈证明是很容易的。 时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后， 讲义六 7 / 13 6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(由y=sinx的图象向左平移 x+)(A, , >0). 个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍， 然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx 的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来 的，最后向左平移个单位，得到y=Asin( x+ )( x+)的图象。 ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点 例10 例10 已知f(x)=sin(>0, 0≤ 对称，且在区间上是单调函数，求 + 和的值。 x+ )，所以cos sinx=0， 【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(对任意x∈R成立。 )=sin(- 又0≤≤π，解得=， 因为f(x)图象关于对称，所以=0。 取x=0，得=0，所以sin 所以(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z). 又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数； 取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数； 取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数， 综上，=或2。 7．三角公式的应用。 讲义六 8 / 13 例11 已知sin(α-β)=sin2α,cos2β的值。 ，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求 【解】 因为α-β∈，所以cos(α-β)=- 又因为α+β∈，所以cos(α+β)= 所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. , 例12 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试 求的值。 【解】 因为A=1200-C，所以cos=cos(600-C)， 又由于 =， 所以=0。 解得或。 又>0，所以。 例13 求证：tan20+4cos70. 【解】 tan20+4cos70=+4sin20 讲义六 9 / 13 三、基础训练题 1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。 2．适合-2cscx的角的集合为___________。 3．给出下列命题：（1）若αβ，则sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,则αβ；（3）若sinα>0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。 4．已知sinx+cosx=(x∈(0, π))，则cotx=___________。 5．简谐振动x1=Asinx=___________。 6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+ 4分别是第________象限角。 和x2=Bsin叠加后得到的合振动是 1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-则4)，1，2，3， 7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。 8．已知，则=___________。 9．=___________。 10．cot15cos25cot35cot85=___________。 11．已知α,β∈(0, π), tan, sin(α+β)=，求cosβ的值。 12．已知函数f(x)=在区间上单调递减，试求实数m的取值范围。 四、高考水平训练题 1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，a=__________. 2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________. 讲义六 10 / 13 3. 函数的值域为__________. 4. 方程=0的实根个数为__________. 5. 若sina+cosa=tana, a，则__________a（填大小关系）. 6. (1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________. 7. 若0 8. =__________. 9. ·cos·cos·cos·cos=__________. 10. cos271+cos71cos49+cos249=__________. 11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x. 12. 求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x. 13. 已知f(x)=(kA0, k∈Z, 且A∈R)，（1）试求f(x)的最大值和最小值；（2）若A>0, k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题（一） 1．若x, y∈R，则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是____________. 2．已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)=实数k的取值范围是____________. 的一个最大值点与一个最小值点，则 3．f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为____________. 4．方程sinx+ cosx+a=0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________. 5．函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________. 6．设sina>0>cosa, 且sin>cos，则的取值范围是____________. 7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解. 8．若x, y∈R, 则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________. 讲义六 11 / 13 9．若0<< , m∈N+, 比较大小：(2m+1)sinm(1-sin)__________1-sin2m+1. 10．cot70+4cos70=____________. 11. 在方程组中消去x, y，求出关于a, b, c的关系式。 12．已知α，β，γ ，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。 13．关于x, y的方程组等，求sinα+sinβ+sinγ的值。 有唯一一组解，且sinα, sinβ, sinγ互不相 14．求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对（x, y）, x, y. 联赛一试水平训练题（二） 1．在平面直角坐标系中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g(x)= 的图象所围成的封闭图形的面积是__________. 2．若__________. ，则y=tan-tan+cos的最大值是 3．在△ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0，则 =__________. 4．设f(x)=x2-πx, α=arcsin , β=arctan, γ=arccos, δ=arccot, 将f(α), f(β), f(γ), f(δ)从小到大排列为__________. 5．logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将a, b, c, d从小到大排列为__________. 6．在锐角△ABC中，cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，则tanα·tanβ·tanγ=__________. 7．已知矩形的两边长分别为tan 和1+cos(0<<π)，且对任何x∈R, f(x)=sin·x2+ ·x+cos≥0，则此矩形面积的取值范围是__________. 8．在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________. 讲义六 12 / 13 9．已知当x∈[0, 1]，不等式x2cos-x(1-x)+(1-x)2sin >0恒成立，则的取值范围是 __________. 10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cos2x+ cos2y+ cos2z=__________. 11．已知a1, a2, …,an是n个实常数，考虑关于x的函数：f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x) +… +cos(an+x)。求证：若实数x1, x2满足f(x1)=f(x2)=0，则存在整数m，使得x2-x1=mπ. 12．在△ABC中，已知，求证：此三角形中有一个内角为。 13．求证：对任意自然数n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>. 六、联赛二试水平训练题 1．已知x>0, y>0, 且x+y<π，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①（w∈R）. 2. 已知a为锐角，n≥2, n∈N+，求证：≥2n-2 +1. 3. 设x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…满足x1=y1=求证：2 , xn+1=xn+, yn+1=， 4．已知α，β，γ为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证； π<α+β+γ<π. 5．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意，恒有(x+3+2sincos )2+(x+asin+asin)2≥ 6. 设n, m都是正整数，并且n>m，求证：对一切x 都有2|sinnx-cosnx|≤ 3|sinnx-cosnx|. 7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。 8．求的有的实数a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2na, …中的每一项均为负数。 9．已知 1， i ，tan n都有 1tan2…tann=2 , n∈N+, 若对任意一组满足上述条件的 n≤λ，求 2，…， cos 1+cos2+…+cos λ的最小值。 讲义六 13 / 13
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