. 中考数学最值问题总结
考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点） 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： B 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA?PB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A?，连结A?B交l于 点P，则PA?PB?A?B的值最小
例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三
A
l
P
A?′
角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。
例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式
（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
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例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示） （1）求S△DBF;
(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;
(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?
如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。
例4、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx?3交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D
（1）求a，b及sin?ACP的值 （2）设点P的横坐标为m
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.
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例5、如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=
与点（-2,6）.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y于点D.动点P在线段OB上，从点O出发向点B运
动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值； （3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.
32,抛物线y?ax?bx经过点A(4,0)4
例1、证明：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°， ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE． 又∵MB=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）
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. 解：
（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分） ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM+BM+CM的值最小．（9分）
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN， ∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等边三角形． ∴BM=MN． ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分） 根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11分）
例2、 解：（1）设所求抛物线的解析式为：y?a(x?1)?4，依题意，将点B（3，0）代入，得： a(3?1)?4?0 解得：a＝－1∴所求抛物线的解析式为：y??(x?1)?4 （2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………① 设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0）， ∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y??(x?1)?4，得 y??(2?1)?4?3 ∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线y??(x?1)?4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
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222222 . ∴当y＝0时，?(x?1)?4?0，∴x＝－1或x＝3 当x＝0时，y＝－1＋4＝3, ∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3） 又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………② 分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得： ?2??k?b?0 解得：
?2k?b?3?k?1 ??b?1过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1
∴当x＝0时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1） ∴DF=2………………………………………③ 又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，－1） ∴EI?DE2?DI2?22?42?25………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③，可知， DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y?k1x?b1(k1?0)，
分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y?k1x?b1，得：
?2k1?b1?3 ??b1??1?k1?2 解得：?
b??1?1 过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1
1； 21 ∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
2 ∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI 由③和④，可知： DF＋EI＝2?25 ∴四边形DFHG的周长最小为2?25。
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. （3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB， 要使，△DNM∽△BMD，只要使
NMMDMD?BD即可， 即：MD2?NM?BD………………………………⑤
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD， ∴
NMBD?AMAB 再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝32，AB＝4
∴ MN?AM?BDAB?(1?a)?324?324(1?a)
∵MD2?OD2?OM2?a2?9， ∴⑤式可写成： a2?9?324(1?a)?32 解得：a?32或a?3（不合题意，舍去） ∴点M的坐标为（32，0）
又∵点T在抛物线y??(x?1)2?4图像上，
∴当x＝32时，y＝152 ∴点T的坐标为（3152，2）.
例3、
解：（1）∵点F在AD上，∴AF2=a2＋a2，即AF=2a。 ∴DF?b?2a。 ∴S1?DBF?2DF?AB?12（?b?2a）?b?12b2?32ab。 （2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD， ∴四边形AFDB是梯形。
∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底。 由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，
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. ∴S?DBF?S?ABD?12b。 2（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆。 第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值， ∵△BFD的边BD=2b，
∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值。
12b2?2ab如图，当DF⊥BD时，S△BFD的最大值=?2b?(， b?2a)?22212b2?2abS△BFD的最小值=?2b?(。 b?2a)?222
第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值，
b2?2abS△BFD的最大值=?。
21例4、解：（1）由x+1=0，得到x=－2，∴A（－2，0）。
21 由x+1=3，得到x=4，∴B（4，3）。
2∵y=ax2+bx?3经过A、B两点，
?1a=??4a?2b?3=0?2∴?，解得?。
116a+4b?3=3??b=??2?设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）。 ∴根据勾股定理，得AE=5。 ∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO。 ∴sin?ACP=sin?AEO=OA225??。 AE557 / 9
. （2）①由（1）可知抛物线的解析式为y=x2?121x?3。 2??12?? m2?m?3?，C?m， m+1?。 由点P的横坐标为m，得P?m，111?1?m+1??m2?m?3???m2+m+4。 222?2???1212??∴PC=
595?1?25在Rt△PCD中，PD?PC?sin?ACP=??m2+m+4??， =??m?1?2+55?2?5595。 <0，∴当m=1时，PD有最大值55532②存在满足条件的m值，m=或。
29 ∵?例5、解：（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入y=ax+bx中，得方程组?2?16a+4b=0，
?4a-2b=6?112?a=解之，得?2.∴抛物线的解析式为y=x-2x.
2?b=-2?（2）连接AC交OB于E.
AB??AO .∴AC⊥OB，∴m∥OB. ∵直线m切⊙C于A ∴AC⊥m，∵ 弦 AB=AO， ∴?33，∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3. 443作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4.
5∴∠ OAD=∠AOB，∵OA=4 tan∠AOB=
t秒时，OP=t,DQ=2t，若PQ⊥AD，则FQ=OP= t.DF=DQ－FQ= t. ⊿ODF中，t=DF=OD2?OF2=1.8秒. （3）令R(x, x－2x) (0＜x＜4).
作RG⊥y轴于G 作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG= x，OG= x+2x.
122
122
534.∴IG=x IR= x,
3344121224122Rt⊿OIH中，OI=IG－OG=x－（x+2x）=x－x.HI=（x－x）.
333225254122223322112于是RH=IR－IH= x－（x－ x）=－ x+x=－ x+x=－( x－
3515355552Rt⊿RIG中，∵∠GIR=∠AOB ，∴tan∠GIR=
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. 112121)+ 44055111121111121当x=时，RH最大.S⊿ROB最大.这时x－2x=×()－2×=－.∴点R(,
3244442255－) 329 / 9
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