小值。 在本题中，
f(x,y)的定义域是：???x???，y?0.
??f2?2x(2?y)?0,???x?1先求驻点.解方程组?得f(x,y)的唯一驻点：(x,y)?(0,e)
??f?2x2y?lny?1?0,???y再判断驻点是否是极值点.求出
?2f?2f1?2f2?4xy，C?2?2x2?， A?2?2(2?y)，B??x?y?yy?x2而在(0,e)处，因A?0，B?0，C?0?AC?B?0，
?1故f(x,y)在(0,e)取极小值f(0,e)??e. （16）（本题满分9分） 设an为曲线y?x与y?x?n?1?1?1n?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积，记S1??an，
n?1?S2??a2n?1，求S1与S2的值.
n?1【考点】收敛级数的和的概念 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
Sn?收敛级数的和的概念，
?uk?1nk?u1?u2?K?un称为无穷级数?uk的前n项的部分和。
k?1n若部分和数列{Sn}的极限存在，即limSn?S，则称级数
n??n?uk?1nk收敛。当级数收敛时，其和
?uk?1k@limSn?S。
n??在本题中，
（Ⅰ）先求an.易求得y?x与y?x所围成区域的面积为an?（Ⅱ）按定义求S1?limnn?1(1,1)，的交点为(0,0)，于是曲线y?x与y?xnn?1?n10(xn?xn?1)dx?n11? n?1n?2n???ak?lim?(k?1n??k?111111?)?lim(?)? k?1k?2n??2n?22第 11 页 共 18 页
（Ⅲ）求S2.S2??an?1?2n?1??[n?1??11?]
(2n?1)?1(2n?1)?211111111?]?(?)?(?)?(?)?L 2n2n?1234567??[n?1111111?1?[1?(??)?(??)?(??)?L]
234567?1?ln2
(?1)n?1nx(?1?x?1) 其中用到了ln(1?x)??nn?1?(?1)n?111111ln2???1??????L
n23456n?1?111111?1?(??)?(??)?(??)?L（收敛级数的结合律）
234567（17）（本题满分11分）
x2y2??1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是由过点?4,0?且与椭圆椭球面S1是椭圆43x2y2??1相切的直线绕x轴旋转而成。 43（Ⅰ）求S1及S2的方程； （Ⅱ）求S1与S2之间的立体体积.
【考点】旋转曲面，定积分的应用 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
旋转曲面方程的计算，求解旋转体体积的方法。 在本题中，
x2y2??1绕x轴旋转而成的椭球面S1的方程是 （I）椭圆?：43x2x2y2?z222??1（y?z?3(1?)）
443为求S2的方程.先求?的过点(4,0)的切线L
?上?点(x0,y0)的切线斜率是y???3x03x0(x?x0) ，相应的切线方程是y?y0?4y04y0第 12 页 共 18 页
22x0y03x0(4?x0)，??x0， 令x?4，y?0，得相应的切点(x0,y0)：y0?4y04331.（只需考虑y0?0），于是得切线L的方程y??(x?4) 221222相应的圆锥面S2的方程是y?z?(x?4).
4即x0?1，y0??（II）设S1与S2之间的区域?的体积为V，它由锥体的一部分?1除去椭球体的一部分?2组成.
x2?2由曲线y?3(1?)（1?x?2）绕x轴旋转而成，于是?2的体积为
4V2???y2(x)dx???1221x2x353(1?)dx?3?(1?)??
412142按锥体的体积公式，得?1的体积V1?1329?()?3??，因此 32495S1与S2之间的立体体积V?V1?V2??????.
44（18）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在(a,b)内可导，则存
???a,b?，使得f?b??f?a??f?????b?a?.
f??x??A， （Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且lim?x?0则f???0?存在，且f???0??A.
【考点】微分中值定理
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用。
罗尔定理：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，又f(a)?f(b)，则存在??(a,b)使得f'(?)?0. 在本题中，
f(b)?f(a)(x?a)，则F(x)在[a,b]连续，在(a,b)可
b?af(b)?f(a)???(a,b)使得F?(?)?0，导，又F(a)?F(b)，由罗尔定理得知，即f?(?)?.
b?af(x)?f(0)（Ⅱ）按右导数定义，只需考察lim.
x?0?x（Ⅰ）作辅助函数F(x)?f(x)?第 13 页 共 18 页
?x?(0,?)，在[0,x]上由拉格朗日中值定理得，???(0,x)，
当x?0?时??0?，于是
f(x)?f(0)?f?(?)
xf(x)?f(0)f??(0)?lim?limf?(?)?limf?(x)?A. ??x?0?x?0x?0x
（19）（本题满分10分） 计算曲面积分I?ò???xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322?，其中?是曲面2x?2y?z?4的外侧.
222【考点】第二类曲面积分的计算，高斯公式 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
用高斯公式求曲面积分：在S所围的区域中挖去某个区域后再用高斯公式，即挖洞法. 在本题中， 将积分记为I?ò??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy，
??P?Q?R???0 ?x?y?z椭球面?（
121212x?y?z?1）围成的区域记为?，它含原点(0,0,0)，而P,Q,R在 224(0,0,0)无定义，因而不能直接使用高斯公式.
作以原点为心，??0为半径的小球面??，??0充分小使??位于?所围的椭球内.记?与
??所围的区域为??，??取??的内法向.在??上用高斯公式得
???(???P?Q?R??)dV?乙Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy， ???x?y?z????P?Q?R???0，于是 ?x?y?z322而在??上，P,Q,R有连续的一阶偏导数且
I?乙??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy??????xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)
?1?3ò??xdydz?ydzdx?zdxdy???*1?3???3dV?*??343????4? 3?3（在??：x?y?z??上用高斯公式） （20）（本题满分11分）
2222第 14 页 共 18 页
?1?1?1???1?????1设A??11，?1?1.
?????0?4?2???2?????2（Ⅰ）求满足A?2??1的?2. A?3??1的所有向量?2,?3.
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量?2,?3证明?1,?2,?3线性无关.
【考点】向量组的线性无关，非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
非齐次线性微分方程的解的性质即叠加原理，非齐次线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。
n个n维向量线性无关??1,?2,L,?n?0.
在本题中，
（Ⅰ）对增广矩阵(A?1)作初等行变换，有
?1?1?1?1??1?1?1?1????0211?，
(A?1)???1111??????0?4?2?2????0000??得Ax?0的基础解系为(1,?1,2)和Ax??1的特解为(0,0,1)
TTT故?2?(0,0,1)?k(1,?1,2)或?2?(k,?k,2k?2)，其中k为任意常数.
TT?220???22因为A??2?20，对增广矩阵(A?1)作初等行变换，有
????440??(A21??110??220?1??2????0000?，
?1)???2?201????????440?2???0000???122TT2T得Ax?0的基础解系为(?1,1,0)，(0,0,1).又Ax??1有特解(?,0,0)，故
?3?(?,0,0)T?t1(?1,1,0)T?t2(0,0,1)T或?3?(??t1,t1,t2)T，其中t1,t2为任意常数.
（Ⅱ）因为
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