2017年华侨、港澳台联考数学真题（含答案）

2017年港澳台联考数学真题答案

一、选择题 1 D 二、填空题

13．?12 14．10 15．3x?4y?5?0 16．三、解答题

19．解：（1）两边取倒数得，.

2 A 3 C 4 D 5 A 6 D 7 C 8 B 9 B 10 D 11 B 12 C 1532 3 17．?x? 18．

332?1?b?1111?n?1?，故数列??为等差数列，其公差为1，首项为. bn?1bnbnb1?bn?（2）由（1）得，

1111111??， ?1，??(n?1)?n，故bn?，所以bnbn?1?nn(n?1)nn?1b1bnb111111n?因此Sn?1????...??．

223nn?1n?120．解：f??x??3ax2?6?a?1?x?12?3?ax?2??x?2?.

（1）当a?0时，令f??x??0，得x?2或x?①当0?a?1时，有

2； a2?2，列表如下： ax f?(x) f(x) 故极小值为f()?②当a?1时，有

???,2? ? ↗ 2 ?2??2,? ?a?2 a0 极小值 ?2?,???? a??0 极大值 ? ↘ ? ↗ 2a12a?4. a222?2，则f??x??3?x?2??0，故f?x?在R上单调递增，无极小值； a2③当a?1时，有?2，列表如下：

a

x f?(x) 2????,?? a??2 a0 极大值 ?2??,2? ?a?2 ?2,??? ? ↗ ? ↗ ? ↘ 0 极小值 f(x) 故极小值为f(2)?12?4a.

（2）①当a?0时，令f?x???3x2?12x??3x(x?4)，得x?0或x?4，有两个根；

②当a?0时，令f??x??0，得x?2或x?22，有?0?2，列表如下： aax f?(x) f(x) 2????,?? a??2 a0 极小值 ?2??,2? ?a?2 ?2,??? ? ↘ ? ↘ ? ↗ 0 极大值 故极大值为f(2)?12?4a?0，极小值f()?2a12a?4?0，因此f(x)?0有三个根. a2C62?C52521．解：（1）记“一次随机抽取两个球，两个球颜色相同”为事件A，则P?A???； 2C1111（2）记“有放回地抽取两次，每次随机抽取一个球，若两次取出的球的颜色相同”为事件B，

2?m?则两次取出的颜色都是白色的概率为p1???，

?m?n??n?则两次取出的颜色都是黑色的概率为p2???，

m?n??m2?n25?m??n?22???3m?10mn?3n?0， 由题意，P?B???，化简得???28?m?n??m?n??m?n?mm1mm?m?即3???10?3?0，解得?3或?，由m?n?1，故?3.

n3nnn?n?2222

?2b?4?a?5??1?22．解：（1）依题意得，?S?ABF?(a?c)b?5?1，解得?b?2.

2?c?1?222???a?c?bx2y2??1，因为四边形OPMQ为平行四边形，设（2）方法1（点差法）：由（1）得椭圆的方程为54OM的中点为D，则D也是PQ的中点，因为M?2,2?，则D?1,1?，设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，

?x12y12??122?x12?x2y12?y2?54??0， 由题意?，两式相减得2254?x2?y2?1?4?5变形得

?x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??0，即k54PQ?y1?y24x?x42?14 ???12?????，

x1?x25y?y52?1512所以直线l的方程为y?1??4(x?1)，即4x?5y?9?0. 5x2y2带入??1，检验??0，有两个交点，满足题意。

54方法2（韦达定理法）：

①当直线PQ的斜率不存在时，直线l的方程为x?1，此时yP??yQ，其中点为(1,0)，不

成立；

②当直线PQ的斜率存在时，设直线l的方程为y?1?k(x?1)，

?y?1?k(x?1)?联立得?x2y2，消y化简得，(5k2?4)x2?10k(k?1)x?5k2?10k?15?0，

?1??4?510k(k?1)4?2?1k??，解得， 25k?15带入上述二次方程，检验得??0，满足题意.

4所以直线l的方程为y?1??(x?1)，即4x?5y?9?0.

5设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，则x1?x2?