专题二 函数双变量问题

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专题一. 函数y?logax?a?0,a?1?的性质

一、 研究函数y?logax?a?0,a?1?的图像和性质 二、 典例分析

例1.设函数f?x??lgx，若0?a?b，且f?a??f?b?，求证：ab?1.

例2.若函数f?x??log2x的定义域为?a,b?，值域为?0,2?，则b?a的最小值为

2例3.已知函数f?x??log2x,正实数m,n满足m?n,且f?m??f?n?,若f?x?在m,n??上的最大值为2，则m?n?

a2?b2例4.已知函数f?x??lgx,?a?b?0?,f?a??f?b?,则的最小值等于

a?b

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专题二. 函数f?x??一. 研究函数f?x??

二、典例分析

lnx的性质及应用 xlnx的图象和性质. xx例1. 已知函数y?a?a?1?的定义域与值域均为?m,n??m?n?，则实数a的取值范围为

ba例2. 事实证明，存在正实数a,b?a?b? 使得a?b,请你写出所有符合条件的a的取值

范围 .

例3. 对于函数y?f?x?，若存在?a,b?，当x??a,b?时的值域为?ka,kb??k?0?，则称

y?f?x?为“k倍值函数”. 若f?x??lnx?x是“k倍值函数”，则实数k的取值范围是

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例4. 若不等式e?x对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是

例5. 已知

例6.（2014 湖北卷）?为圆周率，e?2.71828?为自然对数的底数.求

xalnx?x2?2ex?a有实数解，求实数a的取值范围 xe3,3e,e?,?e,3?,?3这六个数的最大数与最小数.

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专题三. 函数f?x??logax2?1?x的性质

一、研究函数f?x??lnx?

二、典例分析

例1. 求函数f?x??lnx?x2?1,x???2,2?的最大值和最小值.

例2. 函数f?x??lnx?则M?m?

???x2?1的图像和性质

????x2?1,x???k,k?，k?0的最大值和最小值分别为M和m，

?3ex?1例3. 判断函数f?x??lnx?x?1?x，x???k,k??k?0?

e?12??的最大值和最小值分别为M和m，则M?m?

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例4. 判断函数f?x??ln1?9x2?3x?1，则f?lg2??f?lg

????1??? 2?例5.（2015全国卷I）若函数f?x??xlnx?a?x2为偶函数，则a?

例6. 设函数f?x??xlnex?1?小值是m，则M?m?

例7. 设函数f?x??x3?log2x?????12x?3，x???t,t??t?0?，若函数的最大值是M，最2?“a?b?0”是x2?1，则对任意实数a,b，

?“f?a??f?b??0”的 . （填“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”或“既不充分也不必要条件”）

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