解：x(t)?f(t)cos(?0t)
F(?)?F[f(t)] cos(?0t)?1j?0te?e?j?0t 211j?t?j?t所以x(t)?f(t)e0?f(t)e0
22??根据频移特性和叠加性得：
X(f)?11F(???0)?F(???0) 22 可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一
半。
X(f) -ω0 矩形调幅信号频谱
若ω0?ωm将发生混叠。
ω0 f
21-8 求正弦信号x(t)?x0sin(ωt?φ)的均值μx、均方值ψx和概率密度函数p(x)。
解答：
1T1(1)μx?lim?x(t)dt?T??T0T02x?T00x0sin(ωt?φ)dt?0，式中T0?T02π—正弦信号周期 ω
1T21(2)ψ?lim?x(t)dt?T??T0T0(3)在一个周期内
?0x02x0sin(ωt?φ)dt?T022?T00x021?cos2(ωt?φ) dt?22Tx0?Δt1?Δt2?2Δt
P[x?x(t)?x?Δx]?limTxTx02Δt??
T??TT0T0
p(x)?limP[x?x(t)?x?Δx]2Δt2dt1 ?lim??22Δx?0Δx?0ΔxT0ΔxT0dxπx0?x
x(t) Δt Δt x+Δx x t 正弦信号
第二章 测试装置的基本特性
2-1 进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为90.9nC/MPa，将它与增益为0.005V/nC的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为3.5MPa时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？ 解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即 S=90.9(nC/MPa)?0.005(V/nC)?20(mm/V)=9.09mm/MPa。 偏移量：y=S?3.5=9.09?3.5=31.815mm。 2-2 用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s、2s和5s的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？
解：设一阶系统H(s)?11，H(?)? ?s?11?j??
A(?)?H(?)?11?(??)2?1，T是输入的正弦信号的周期
2??21?()T稳态响应相对幅值误差??A????1?100%，将已知周期代入得
?58.6%T?1s????32.7%T?2s
?8.5%T?5s? 2-3 求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t?45?)通过传递函数为H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。
解：H(?)?11，A(?)?，?(?)??arctan(0.005?)
21?j0.005?1?(0.005?) 该装置是一线性定常系统，设稳态响应为y(t)，根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得
到
y(t)=y01cos(10t+?1)+y02cos(100t?45?+?2)
其中y01?A(10)x01?11?(0.005?10)2?0.5?0.499，?1??(10)??arctan(0.005?10)??2.86?
y02?A(100)x02?11?(0.005?100)2?0.2?0.179，?2??(100)??arctan(0.005?100)??26.57?
所以稳态响应为y(t)?0.499cos(10t?2.86?)?0.179cos(100t?71.57?)
2-4 气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计，以5m/s的上升速度通过大气层。设温度按每升高30m下降0.15℃的规律而变化，气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在3000m处所记录的温度为?l℃。试问实际出现?l℃的真实高度是多少？
解：该温度计为一阶系统，其传递函数设为H(s)?1。温度随高度线性变化，对温度计来说相
15s?1当于输入了一个斜坡信号，而这样的一阶系统对斜坡信号的稳态响应滞后时间为时间常数?=15s，如果不计无线电波传送时间，则温度计的输出实际上是15s以前的温度，所以实际出现?l℃的真实高度是 Hz=H-V?=3000-5?15=2925m 2-5 想用一个一阶系统做100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，那么时间常数应取多少？若用该系统测量50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 解：设该一阶系统的频响函数为
H(?)?1，?是时间常数
1?j??则
A(?)?11?(??)2
?1稳态响应相对幅值误差??A(?)?1?100%??1??1?(2??f)2?令?≤5%，f=100Hz，解得?≤523?s。 如果f=50Hz，则
???100% ???1相对幅值误差：???1??1?(2??f)2???1??100%??1???1?(2??523?10?6?50)2?????100%?1.3% ??相角差：?(?)??arctan(2??f)??arctan(2??523?10?6?50)??9.33?
2-6 试说明二阶装置阻尼比?多采用0.6~0.8的原因。 解答：从不失真条件出发分析。?在0.707左右时，幅频特性近似常数的频率范围最宽，而相频特性曲线最接近直线。 2-7 将信号cos?t输入一个传递函数为H(s)=1/(?s+1)的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出y(t)的表达式。
解答：令x(t)=cos?t，则X(s)?s，所以 22s??Y(s)?H(s)X(s)?1s
?s?1s2??2利用部分分式法可得到
Y(s)??111111 ??1?(??)21?s2(1?j??)s?j?2(1?j??)s?j??利用逆拉普拉斯变换得到
t?111j?t?j?t?y(t)?L[Y(s)]??e?e?e1?(??)22(1?j??)2(1?j??)?1tj?t?j?tj?t?j?t?1e?e?j??(e?e)???e?1?(??)22[1?(??)2]1?t/????cos?t???sin?t?e2??1?(??)1?1?(??)2cos(?t?arctan??)?e?t/????1?(??)2?
2-8 求频率响应函数为3155072 / (1 + 0.01j?)(1577536 + 1760j? - ?2)的系统对正弦输入
x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应的均值显示。 解：该系统可以看成是一个一阶线性定常系统和一个二阶线性定常系统的串联，串联后仍然为线性定常系统。根据线性定常系统的频率保持性可知，当输入为正弦信号时，其稳态响应仍然为同频率的正弦信号，而正弦信号的平均值为0，所以稳态响应的均值显示为0。 2-9 试求传递函数分别为1.5/(3.5s + 0.5)和41?n2/(s2 + 1.4?ns + ?n2)的两环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）。 解：
H1(s)?K11.53??，即静态灵敏度K1=3
3.5s?0.57s?17s?1
41?n2K2?n2，即静态灵敏度K2=41 H2(s)?2?s?1.4?ns??n2s2?1.4?ns??n2因为两者串联无负载效应，所以 总静态灵敏度K = K1 ? K2 = 3 ? 41 = 123 2-10 设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比?=0.14，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时，其幅值比A(?)和相角差?(?)各为多少？若该装置的阻尼比改为?=0.7，问A(?)和?(?)又将如何变化？
?n2解：设H(?)?2，则 2s?2??ns??n1?????????1??????2?????n???n????2222?，?(?)??arctan
A(?)???n2，即
???1?????n?2?ffn
A(f)?21??f???f??1??????2??fn???fn?????22，?(f)??arctan?f?1????fn?2
将fn = 800Hz，? = 0.14，f = 400Hz，代入上面的式子得到 A(400) ? 1.31，?(400) ? ?10.57?
如果? = 0.7，则A(400) ? 0.975，?(400) ? ?43.03?
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