山东省潍坊市2017届高三数学一模试卷（理科） Word版含解析

由g′（x）=0得，x=﹣1，

∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，+∞）上递增， ∴当x=﹣1时，g（x）取到最小值是g（﹣1）=∵x＜0，g（x）＜0、x＞0，g（x）＞0， ∴当方程xex=a在R上有两个不同的实数根时， 即函数g（x）与y=a的图象有两个交点， 由图得

，

，

，

∴实数a的取值范围为故答案为：

．

15．已知抛物线C：y2=4x焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C交于M，N两点，P为抛物线C准线l上一点且PF⊥MN，连接PM交y轴于Q点，过Q作QD⊥MF于点D，若|MD|=2|FN|，则|MF|= 【考点】抛物线的简单性质．

x+k2=0，【分析】直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程可得k2x2﹣（2k2+4）求出k的值可得M的坐标，即可得出结论．

【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 ∴x1+x2=2+

，

+2 ．

2|FN|=|MD|，可得2（x2+1）=|MD|，

- 13 -

∵，∴

， ，

=

，∴x2=﹣1，

联立可得x1=2+∵x1=

∴2+∴3k2=4∴x1=

=+4， +1，

+2， +2．

，

∴|MF|=故答案为

三、解答题（共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A为锐角，且bsinAcosC+csinAcosB=（1）求角A的大小；

（2）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），其图象上相邻两条对称轴间的距离为

，将函数y=f（x）的图象向左平移

，

]上值域．

个单位，得到函数y=g（x）

a．

图象，求函数g（x）在区间[﹣

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】（1）由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=

sinA，由于sinA≠0，

利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，结合A的范围即可得解A的值． （2）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx﹣gx）=sin由已知可求T，利用周期公式可求ω，利用三角函数平移变换可求（（2x+由x的范围，利用正弦函数的性质可求g（x）的值域． 【解答】（本题满分为12分）

），），

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解：（1）∵bsinAcosC+csinAcosB=a，

sinA，

∴由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=∵A为锐角，sinA≠0， ∴sinBcosC+sinCcosB=∴A=

．

，可得：tanA=

，

，可得：sin（B+C）=sinA=，

（2）∵A=∴f（x）=

sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣，可得：T=2×

=

），

∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为∴f（x）=sin（2x﹣

），

，解得：ω=1，

∴将函数y=f（x）的图象向左平移（x）=sin[2（x+∵x∈[﹣

，

）﹣

]=sin（2x+

∈[

个单位，得到图象对应的函数解析式为y=g）， ，

]，

]，可得：2x+

∴g（x）=sin（2x+

）∈[，1]．

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，BC=

CD，△APB是等边三角形，且侧面APB⊥底面ABCD，E，F分别是

PC，AB的中点．

（1）求证：PA∥平面DEF．

（2）求平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）连结AC，交DF于O，连结OF，推导出四边形CDFB是平行四边形，

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从而DF∥BC，进而O是AC中点，由此得到OE∥PA，从而能证明PA∥平面DEF．

（2）以F为原点，FA为x轴，DF为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值． 【解答】证明：（1）连结AC，交DF于O，连结OF， ∵AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD， E，F分别是PC，AB的中点． ∴CD

BF，∴四边形CDFB是平行四边形，∴DF∥BC，

∴O是AC中点，∴OE∥PA， ∵PA?平面DEF，OE?平面DEF， ∴PA∥平面DEF．

解：（2）∵在四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°， △APB是等边三角形，且侧面APB⊥底面ABCD，F是AB的中点， ∴DF⊥AF，PF⊥平面ABCD，

以F为原点，FA为x轴，DF为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系， 设BC=

CD=，=（0，﹣﹣

，﹣

，则D（0，﹣

，0），C（﹣1，﹣

，0），P（0，0，

），E（﹣

），F（0，0，0）， ，0），），

=（﹣

，

），

=（﹣1，﹣

，﹣

），

=（0，

设平面DEF的法向量=（x，y，z），

则，取z=1，得=（，0，1），

设平面PCD的法向量=（a，b，c）， 则

，取b=

，得=（0，

，﹣1），

cos＜＞===﹣，

．

∴平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值为

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