2017—2018学年度第二学期期末考试
高二数学试题(理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卷规定的位置上. 4.考试结束后,将答题卷交回.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的。
?( ) 1.已知i为虚数单位,复数z满足z(1?i)?1?i,则z A.1 B.?1 C.?i D.i
y?cosx是三角2.给出三个命题:①y?cosx是周期函数;②三角函数是周期函数;③
函数;则由三段论可以推出的结论是( )
A.y?cosx是周期函数 B.三角函数是周期函数 C.y?cosx是三角函数 D.周期函数是三角函数 3.某射手射击所得环数X的分布列如下:
2017X P 7 8 0.1 9 0.3 x 10 y
已知X的数学期望
E(X)?8.9,则y的值为( ).
A.0.8
B.0.6
2 C.0.4 D.0.2
4.直线y?4x与曲线y?x围成的封闭图形的面积为( )
162 D.162 325.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有有理根,那么a、b、
A.32
B.
32 3C.
c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( ) A.假设a、b、c都是偶数 B.假设a、b、c都不是偶数 C.假设a、b、c至多有一个偶数 D.假设a、b、c至多有两个偶数
6.设随机变量?服从正态分布N(?,?)(??0),若P(??0)?P(??1)?1,则?的值为( )
21
A.
1 2
B.1 C.?1 2
D.?1
7.2016年6月9日是我们的传统节日——“端午节”,这天小红的妈妈为小红煮了6个粽子,其中2个腊肉馅4个豆沙馅,小红随机取出两个,事件A?“取到的两个为同一种馅”, 事件B?“取到的两个都是豆沙馅”,则P(B|A)?( )
7116 B. C. D.151577
2x8.设函数f(x)?ax?bx?c(a,b,c?R).若x??1为函数f(x)e的一个极值点,则下列
图象不可能为y?f(x)的图象是 ( ) ...
A.
A B C D
9.学校选派5位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这3所大学的自主招生考试,每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有( )
A.540种 B.240种 C.180种 D.150种 10.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):
① “若a、b?R,则a?b?0?a?b”类比推出“若a、b?C,则a?b?0?a?b”
②“若a、b、c、d?R,则复数a?bi?c?di?a?c,b?d”类比推出 “若a、b、c、d?Q,则a?b2?c?d2?a?c,b?d”
③“若a、b?R,则a?b?0?a?b”类比推出 “若a、b?C,则a?b?0?a?b”
④“若x?R,则|x|?1??1?x?1”类比推出“z?C,则|z|?1??1?z?1” 其中类比结论正确的为( ) ....A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
2'11.设f(x)是R上的奇函数,且f(?1)?0,当x?0时,(x?1)?f(x)?2xf(x)?0,
则不等式f(x)?0的解集为( ) A.(??,?1)
B.(??,?1)?(0,1) D.(?1,0)?(1,??)
C.(1,??)
12.定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a?x1?x2?b)满足
2
f(b)?f(a)f(b)?f(a),f(x2)?,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值
b?ab?a132函数”。已知函数f(x)?x?x?m是[0,m]上的“双中值函数”,则实数m的取值
3f(x1)?范围是( ) A.(0,)
32 B.(1,3) C.(3?5,6)
D.(,3)
12第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上。 13.随机变量?~B(5,),则D(3?)?
''14.已知函数f(x)?sinx?cosx?2f()x?3,则f()? .
13??33012n15.若Cn?2Cn?22Cn?????2nCn?729,且(3?x)n?a0?a1x?a2x2??anxn,则
a0?a1?a2??(?1)nan? .
(1)16.记函数f(x)的导数为f
(x),f(1)(x)的导数为f(2)(x),???,f(n?1)(x)的导数为
f(n)(x)(n?N*).若f(x)可进行n次求导,则f(x)均可近似表示为:
f(1)(0)f(2)(0)2f(3)(0)3f(n)(0)nf(x)?f(0)?x?x?x?????x. 若取n?4,
1!2!3!n!根据这个结论,请用f(x)?e近似估计自然对数的底数e? (用分数表示)
三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)已知函数f(x)??x?3x?9x?a. (Ⅰ)求a??10时,f(x)在(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)若f(x)在区间[?2,2]上的最大值是20,求它在该区间上的最小值。
18.(本小题满分12分)随着经济的发展,我市居民收入逐年增长,下表是我市一建设银行
32x3
连续五年的储蓄存款(年底余额):
年份x 储蓄存款y(千亿元) 2011 5 2012 6 2013 7 2014 8 2015 10 为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,t?x?2010,z?y?5: (Ⅰ)求z关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)通过(Ⅰ)中的方程,求出y关于x的回归方程;
(Ⅲ)用所求回归方程预测到2020年年底,该银行储蓄存款额可达多少?
????a??bx?,其中b(附:对于线性回归方程y?xy?nx?yiii?1n?xi?1n?) ??y?bx,a2i?nx2 19.(本小题满分12分)为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况,在该市随机抽取了
50名市民进行调查,他们月收入(单位:百元)的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表: 月收入 频数 赞成人数
[15,25) 5 4 [25,35) 10 8 [35,45) 15 12 [45,55) 10 5 [55,65) 5 2 [65,75] 5 1 将月收入不低于55的人群称为“高收入族\,月收入低于55的人群称为“非高收入族\. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的2×2列联表,问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令? 赞成 不赞成 总计 非高收入族 高收入族 总计 (Ⅱ)现从月收入在[15,25)和[25,35)的两组人群中各随机抽取两人进行问卷调查,记参加问卷调查的4人中不赞成楼市限购令的人数为?,求随机变量?的分布列和数学期望.
n(ad?bc)2附表及公式:k?,n?a?b?c?d
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P(k2?k0) 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.84 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.83 k0
4
20.(本小题满分12分)当n?N*时,Sn?1?11111????????,2342n?12nTn?1111???????, n?1n?2n?32n(Ⅰ)求S1,S2,T1,T2;
(Ⅱ)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)?ln((Ⅰ)若x?11?ax)?x2?ax,其中a?0且a为常数。 221是函数f(x)的一个极值点,求a的值; 21(Ⅱ)判断函数f(x)在区间[,??)上的单调性;
211],使不等式f(x0)?m(1?a2)成立,求(Ⅲ)若对任意的a?(1,2),总存在x0?[,2实数m的取值范围.
请考生在第22、 23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,已知⊙O是?ABC的外接圆,AB?BC,AD是BC边上的高,AE是⊙O的直
径.
(Ⅰ)求证:AC?BC?AD?AE;
(Ⅱ)过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F,若AF?2,CF?4,求AC的长.
5
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