太原志成学校 艺术类理科数学讲义
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第一讲 数列定义及其性质
一、基本概念：
1、通项公式：an； 2、前n项和：Sn 3、关系：an?Sn?Sn?1(n?2) 二、性质：
1、单调性：增数列：an?an?1；减数列：an?an?1；常数列：an?an?1 2、最值：
??最大值：减数列?an???最小值：增数列??最大值：+++L(0)???? ??若S7最大，则a7?0,a8?0???Sn?若S7或S8最大，则a7?0,a8=0,a9?0,??????最小值:与上面相反3、前n项积Tn有最大值： 三、几种常见数列： 1、-1,7,-13,19L 2、7,77,777,L 3、，，L
13524816924685、，，,L
3153563，，，4L 4、11
★随堂训练：
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1、已知数列{an}通项公式是an?2n，那么这个数列是（ ） 3n?1A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列
2、已知数列{an}满足a1?0，
an?11?，那么这个数列是（ ） an2A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列
2*3、已知数列{an}通项公式是an?n?kn?2，若对任意n?N，都有an?1?an成立，则
实数k的取值范围是（ ） 4、已知数列{an}通项公式是an?n?10,Tn是数列{an}的前n项积，即Tn?a1a2a3Lan，2n?1当Tn取到最大值是，n的值为（ ）
5、设数列{an}的前n项和Sn?n2，则a8的值是（ ）
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等差数列专题
一、等差数列知识点回顾与技巧点拨
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p.
3．等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A＝
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
2
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
5．等差数列的前n项和公式 若已知首项a1和末项an，则Sn＝前n项和公式为Sn＝na1＋
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
*
*
*
x＋y2
.
ndna1＋an2
，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其
nn－1
2
d.
d?d?Sn＝n2＋?a1－?n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
2
?2?
7．最值问题
3
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在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，① Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②
①＋②得：Sn＝
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 ． 四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数； (2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N)都成立； (3)通项公式法：验证an＝pn＋q； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An＋Bn.
注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
基础训练：（公式的运用，定义的把握）
1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（ ） A．
B． 1
C．
D． ﹣1
2
*
na1＋an2
.
2．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（ ） A． 以7为首项，公差为2的等差数列 C． 以5为首项，公差为2的等差数列
B． 以7为首项，公差为5的等差数列 D． 不是等差数列
3．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（ ） A． 23
B． 24
C． 25
D． 26
4．两个数1与5的等差中项是（ ） A． 1
B． 3
C． 2
D．
5．（2005?黑龙江）如果数列{an}是等差数列，则（ ）
4
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A． a1+a8＞a4+a5
B． a1+a8=a4+a5
C． a1+a8＜a4+a5
D． a1a8=a4a5
考点1:等差数列的通项与前n项和 题型1：已知等差数列的某些项，求某项
【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法 【例1】已知?an?为等差数列，a15?8,a60?20，则a75?
对应练习：
1、已知?an?为等差数列，am?p,an?q（m,n,k互不相等），求ak.
2、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.
题型2：已知前n项和Sn及其某项，求项数. 【解题思路】
⑴利用等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d求出a1及d，代入Sn可求项数n； ⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出a1?an，代入Sn可求项数n. 【例2】已知Sn为等差数列?an?的前n项和，a4?9,a9??6,Sn?63，求n
对应练习：
5
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