（2）因为所以
，
两式相减得：所以
.
，
【点睛】本题主要考查了数列前n项和与项的关系，错位相减法，属于中档题. 21.已知抛物线：，两点，且满足为.
内有一点，
，过的两条直线，分别与抛物线交于，和
，已知线段
的中点为，直线
的斜率
（1）求证：点的横坐标为定值； （2）如果
，点的纵坐标小于3，求
的面积的最大值.
【答案】（1）见证明；（2）【解析】 【分析】 （1）设可得得到
，设
中点为，根据向量的线性运算可知
，
，
，即
，可知
，且，和三点共线，利用点差法轴，故
为定值（2）由，写出面积公式即
，联立直线与抛物线方程可求
可求最值.
【详解】（1）设中点为，则由，可推得，，这说明
，且，和三点共线.
对，使用点差法，可得同理于是（2）由得
. ，即得到
轴，所以，设，所以
，,
为定值.
，联立
,
，即
.
根据点到直线的距离公式知P到AB的距离为于是
，令x=
,则
，
，
，令得，当时， ,函数为增函数，当时，，
函数为减函数，故当，即时，有最大值.
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，向量的线性运算，三角形面积，属于难题. 22.函数
（1）若为定值，求（2）求证：对任意（3）若
，
，其中
，
.
的最大值； ，有，求证：对任意
，直线
与曲线
；
有唯一公共点.
【答案】（1）【解析】 【分析】
（2）见证明；（3）见证明；
（1）n看作常数，函数求导后令导数等于零，可得，可知函数在处有极大值，可得
函数最大值（2）取得，利用放缩法得 ，
再根据裂项相消法求和即可（3）要证明当唯一解，令
，即证明
，时，关于的方程有
有唯一零点，再利用导数得函数单调性，极值
确定函数大致图象，证明只有唯一零点即可.
【详解】（1）为定值，故
时，
所以当
，当
时，
，所以函数在 ，也是最大值，所以
，令
上单调递增，在
.
，得，当
上单调递减，
时，函数有极大值
（2）由前一问可知，取得，于是
.
（3）要证明当
，
时，关于的方程有唯一解，令，即证明
有唯一零点，先证明
函数只有唯一零点. 我们先证三个引理 【引理1】【引理2】【引理3】
（由第1问取
存在零点，再利用导数得函数单调性，极值确定
即可）
（由【引理1】变形得到）
（可直接证明也可由【引理2推出】
证明：
下面我们先证明函数
.
存在零点，先由【引理2】得到：
.
令，可知.再由【引理3】得到
.
，于是
令，且，可知.由连续性可知该函数一定存在零点. 最多只能有一个零点.我们有 .
下面我们开始证明函数
令，则，则在递增，在递减，即.
当当
时，有时，令
恒成立，在，
上递增，所以最多一个零点. ，即.
.
时，
有极大值但其极大值
，
，于是
再令因此函数
在
，由【引理1】可以得到递增，
递减，
递增，
所以最多只有一个零点. 综上，当
，
时，函数
与
的图像有唯一交点.
【点睛】本题主要考查了双曲线的方程，双曲线的简单几何性质，属于中档题.
相关推荐：
loading