第十九题：证明中点
如图，⊙O为?ABC外接圆，I、E分别为?ABC的内心和一个旁心，?BAC的外角平分线交BC延长线于D，IF?DE于F，交⊙O于G。求证：G为IF中点。第二十题：证明线段相等
如图，在锐角?ABC中，?B??C，F是BC的中点，BE、CD是高。G、H分别是FD、FE的中点，若过A且平行于BC的直线交GH于I。求证：IA?IF
第二十一题：证明垂直
如图，D是?ABC边BC上一点，?DAC??ABD，⊙O过点B、D分别交AB、AD于E、F，直线BF交DE于G，M是AG中点。求证：CM?AO。第二十二题：证明角相等
如图，如图，CD为⊙O直径，PC、PE分别切⊙O于C、E，割线PBA交⊙O于A、B，AC、BD交于点F，DE交AB于G，求证：?GFE??ADE。第二十三题：证明四点共圆
如图，O为?ABC外心，D、E分别为AB、AC上一点，OF?DE于F，L、M、N分别为DE、BE、CD中点。求证：F、L、M、N四点共圆。第二十四题：证明两圆相切
如图，?ABC内切圆⊙I切BC于D，AE?BC于E，F为AE中点，DF交⊙I于G，作?BCG的外接圆⊙O，求证：⊙O、⊙I相切于点G。第二十五题：证明线段相等
如图，?ABC内接于⊙O，内切圆⊙I分别切AB、AC于J、K，AO交⊙O于D，连接DI，延长CA到F，使得AF?BJ，过F作DI的垂线交BA延长线于G，求证：AG?CK。第二十六题：证明四条线段相等
如图，⊙O为?ABC外接圆，AD平分?BAC交⊙O于D，OE//BD交AB于E，OF//CD交AC于F，H为?ABC垂心，HG//AD交BC于G，求证：BE?GE?GF?CF。第二十七题：证明线段比例等式
如图，四边形ABCD中，AB?AC，?ABD外接圆⊙O1交AC于F，?ACD外接圆⊙O2交AB于E，BF、CE交于点G，求证：BGBD
?。CGCD第二十八题：证明角的倍数关系
如图，O为?ABC外心，D为?ABC内一点，使得?DAB??DCB，?DAC??DCB，E为AD中点，过E作EF?AD交CB延长线于F，连接FA、FD、FO，求证：?AFD?2?OFC。
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