数学建模习题
影 院 座 位 设 计
摘 要
本文研究了电影院的座位设计问题，根据观众对座位的满意程度主要取决于视角?与仰角?这一前提条件，建立了满意程度最大的相关模型，并进行求解。
问题一，首先建立在满足仰角条件情况下的优化模型，接着通过主观臆断分别对视角和仰角赋权重，对座位进行离散分析，并引入满意度函数建立了离散加权模型，最后运用Matlab软件求解出当地板线的倾角为10?时，最佳位置距屏幕的水平距离为6.8635米。
问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点，建立满意度函数平均值模型，再利用Matlab软件解得当地板线的倾角为15.0543?时，所有观众的平均满意程度最大。
问题三，在问题二的基础上，为进一步提高观众的满意程度，将地板线设计成折线形状，即相邻两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以2.5?变化，增加到20?后保持不变，第一排抬高1.2米。
本文所建立的模型通俗易懂，求解简单明了，对模型进行验证发现与现实生活中的实际情况十分吻合，因此具有很强的实用性和推广意义。
关键词： 离散加权 平均满意度 优化模型
一、问题重述
影院座位的满意程度主要取决于视角?和仰角?，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角?不超过300；记影院的屏幕高为h，上边缘距离地面高为H,影院的地板线通常与水平线有一个倾角?，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为d,D，观众的平均座高为c（指眼睛到地面的距离），已知参数h=1.8. H=5，d?4.5,D?19，c=1.1(单位m)。
求解以下问题：
(1) 地板线的倾角??100时，求最佳座位的所在位置。
(2) 地板线的倾角?一般超过200，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
(3) 地板线设计成什么形状，可以进一步提高观众的满意程度。
二、问题的分析
电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角?和仰角?，?越大越好，而?越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。
本文通过对水平视角?和仰角?取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。
针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab数学软件运算求解；
针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；
针对问题三，即在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。
本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。
三、模型假设
1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度； 2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；
3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性； 4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘； 5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m； 6.对于同一排座位，观众的满意程度相同； 7.所有观众的座位等高为平均座高； 8.影院的的地板成阶梯状。
1
四、符号说明
? 水平视角
? 仰角
? 地板线与水平线的倾角
dD
?
S?S?视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离 观众对水平视角为?的满意程度 观众对仰角为?的满意程度 平均满意程度
视角?、仰角?在综合满意度Si中的权重 相邻两排座位间沿地板线方向的间距
第一排离屏幕水平距离 最后一排离屏幕水平距离 屏幕的高度
屏幕上边缘离地面的高度
S
c?,c?hHl
五、模型的建立与求解
5.1 问题一
每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：水平视角?和仰角?，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过300。
5.1.1 模型Ⅰ的建立：仰角在满足条件的范围内,观众满意度只取决于视角
以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：
A 屏 h y E 幕 B H?c?h?xtan? H?h 视觉线 ? ? S P c xtan?地板 O 地面 cM ? x D?d x N d 图1 影院座位设计的剖面图
其中，AB为屏幕，MS为地板线，OE为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图可设视觉线OE上任意一点P的坐标为(x,xtan?)，屏幕上下点的坐标分别为A(?d,H?c)，
2
B(?d,H?h?c)，AP的斜率记为kAP,BP的斜率记为kBP。
xtan??H?cx?(?d)xtan??H?h?cx?(?d)由斜率公式得：
kAP??tan??，kBP??tan(???)? (1.1)
则直线AP和BP的斜率与夹角?满足如下关系：
tan??kBP?kAP1?kBPkAP?h(x?d)(x?d)?(xtan??H?c)(xtan??H?h?c)2 (1.2)
仰角满足条件：??[0?,30?] 所以：0?tan??33?0??H?c?33dH?ctan?xtan??H?cx?(?d)?33
33?tan??x? (1.3)
由公式(1.1) (1.2)得到模型为：
max??arctanh(x?d)(x?d)?(xtan??H?c)(xtan??H?h?c)2
?0?x?D?d?s.t.?H?c?33dH?c?x??tan?33?tan??
5.1.2 模型Ⅰ的求解
当??10?时，用Matlab软件运算求解（程序见附录1），得最大视角为??13.9522?，仰角为??30?，x?1.7274米。即P点的坐标为(1.7274,0.3046)为最佳位置。离屏幕的水平距离为4.5?1.7274?6.2274米。 5.1.3 模型Ⅱ的建立：离散加权模型
在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为l（查阅相关资料间距一般取0.8米），则在水平方向的间距为lcos?，考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。
对模型Ⅰ进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：
tan???xtan??H?cx?(?d)??(k?1)lcos?tan??H?c(k?1)lcos??(?d) (2.1)
tan??h((k?1)lcos??d)((k?1)lcos??d)?((k?1)lcos?tan??H?c)((k?1)lcos?tan??H?h?c)2
(2.2)
其中，k?1,2,3,?,n，n为地板线上的座位的总排数，且n?[14.5lcos?]?1?19。
一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。本文中观众对某个座位是否满意的
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