八年级上数学培优练习（九）：等腰三角形的判定
1．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于O点．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，则△GMO周长+△ENO的周长－△FHO的周长 ．
2．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形共有 个．
3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠D：∠C
的值= ．（“五羊杯”竞赛题）
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=
1∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正2确结论的序号都填上) (2002午天津市中考题)
5．如图，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于( )
A．58° B．32° C．36° D．34°
6．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，则AC与2AB之间的关系是( )
A．AC>2AB B．AC＝2AB C．AC≤2AB D．AC<2AB (山东省竞赛题) 7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( )
A．30° B．30°或150°C． 120°或150°D．30°或120°或150° (“希望杯”邀请赛试题) 8．在锐角△ABC中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形( ) A．只有一个且为等腰三角形 B．至少有两个且都为等腰三角形 C．只有一个但不是等腰三角形 D．至少有两个，其中有非等腰三角形 9．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点． (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系．
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论． (广东省中考题)
10．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．
11．如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．
12．在△ABC中，AB=AC，高线AD=
1BC，AE为∠BAC的平分线，则∠CAD的度数为 (北京市竞赛题) 213．如图，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，则∠A= ．
14．如图，四边形ABCD中，AE、AF分别是BC，
CD的中垂线，∠EAF=80°，∠CBD=30°，则∠ABC= ，∠ADC= ． (天津市竞赛题)
15．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度． (江苏省竞赛题)
16．在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有( ) A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
17．如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC= A．30° B．450° C． 60° D．67．5°
18．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则( ) A．PA+PB+PC
19．如图，在△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、 ∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP．(2002年全国初中数学竞赛矗)
20，如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC>60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一市竞赛题)
1∠BDC，求证：AC=BD+DC。(天津211DC=DE，则∠D＝（ ） 22八年级上数学培优练习（九）：等腰三角形综合
1. 如图，已知在?ABC中，BO平分?ABC，CO平分?ACB，且 OM//AB，ON//AC，若CB?6，则?OMN的周长是（ ）
FA、3 B、6 C、9 D、12
A
GA
CO BD
B
M
N
C
第2题
E第3题
2.如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=___________．
3、如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一个含300角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△DEF，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于E，G，则下列结论：①AG=CE ②DG=DE ③BG-AC=CE ④S△BDG -S
△CDE
1
= S△ABC 其中总是成立的是 （填序号） 2
4.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P， 使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 (江苏省竞赛题) 5、以下各命题中，正确的命题是（ ）
（1）等腰三角形的一边长4 cm，一边长9 cm，则它的周长为17 cm或22 cm； （2）三角形的一个外角，等于两个内角的和； （3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等； （4）等边三角形是轴对称图形； （5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. （A）（1）（2）（3） （B）（4）（5） （C）（2）（4）（5） （D）（1）（3）（5） 6.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB十BD＝CD．(天津市竞赛题)
7. 如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD中点， 求证：AM⊥CD． (武汉市选拔赛试题)
8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°， 求证：BD＝BA．
9．（1）如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC．
(1) 如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，证明：PA+PD+PC≥BD． (江苏省竞赛题)
10．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBDD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a． (1)E、F移动时，△BEF的形状如何? (2)求△BEF面积的最小值．
11.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中?C?90?,?B??E?30?. （1）操作发现:如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转。当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是 ；②设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2。则S1与S2的数量关系是 。
（2）猜想论证:当DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC,CE边上的高，请你证明小明的猜想。
（3）拓展探究:已知?ABC?60?，点D是其角平分线上一点，BD=CD， DE∥AB交BC于点E，DE=2,（如图4），若在射线BA上存在点F，使SDCF?SBDC,请直接写出相应的BF的长 ．．．．
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