中考总复习：圆综合复习—知识讲解（提高）
【考纲要求】
1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；
2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活． 【知识网络】
【考点梳理】
考点一、圆的有关概念 1. 圆的定义
如图所示，有两种定义方式：
①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；
②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
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2.与圆有关的概念
①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦． ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦．
?，③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作BC?． BACAC是半圆． ④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如??这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧． ⑤劣弧：像BC?这样大于半圆周的圆弧叫做优弧． ⑥优弧：像BAC ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆． ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
?圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角．
?圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角． 要点诠释：
圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半. 圆内角度数等于它所夹弧的度数的和的一半.
考点二、圆的有关性质 1.圆的对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理
①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示．
?C，(5)??．若上述5AC?BAD?BD 要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)?个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径． 3.弧、弦、圆心角之间的关系
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
4.圆周角定理及推论
①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．
考点三、与圆有关的位置关系
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1.点与圆的位置关系
如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：
点与圆的位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外
d与r的大小关系 d＜r d＝r d＞r
要点诠释： (1)圆的确定：
①过一点的圆有无数个，如图所示．
②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．
③经过在同一直线上的三点不能作圆．
④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．
(2)三角形的外接圆
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．
2.直线与圆的位置关系
①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．
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②圆的切线．
切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点． 切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l． 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点． 要点诠释：
找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．
三角形外心、内心有关知识比较
3.圆与圆的位置关系
在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．
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