河南省专升本高等数学真题(带答案详解)

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故原级数的收敛区间为?2,?2.

?四、应用题（每小题7分，共14分）

54.靠一楮充分长的墙边，增加三面墙围成一个矩形场地,在限定场地面积为64m2的条件下.问增加的三面墙的各为多少时，其总长最小. 解：场地如图所示：

x x 设增加的三面墙的长度分别为x,y,x； y

总长为z，则有z?2x?y，xy?64， 从而z?2x?令z??2?6464，问题就转化为求函数z?2x?最小值问题. xx64?264??z(42)?x?42得唯一驻点，且有?0x3x?4x2?0，

2所以x?42是极小值点，即为最小值点,此时y?82. 故，另增的三面墙的长度分别为42m，82m，42m时，增加三面围墙的总长最小. 55.设D由曲线y?f(x)与直线y?0,y?3围成的，其中

?x2,0?x?2， y??y?6?x,x?2求D绕y轴旋转形成的旋转体的体积. 解：平面图形D如图所示: 把D看作Y区域，且y?[0,3],

o3 y?x2?x?y代入Y型区域绕y所成旋转一 周所得体积公式有

222??Vy????f(y)?g(y)dy??(6?y)?y??0???dy 0?33xy?6?x?x?6?y?yy? ?π?(36?13y?y2)dy?π?36y?13??

023?0?3233 ?117?. 2五、证明题（6分）

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56.设F(x)??f(t)dt??axxb1dt，其中函数f(x)在闭区间?a,b?上连续且f(x)?0，f(t)证明在开区间(a,b)内,方程F(x)?0有唯一实根. 证明：因为F?(x)?f(x)?aa1在?a,b?上有意义，所以F(x)在?a,b?上连续，且有f(x)F(a)??f(t)dt??abba1b11dt??dt???dt?0,

bf(t)af(t)f(t)b1dt??f(t)dt?0，

af(t)F(b)??f(t)dt??abb由连续函数在闭区间上的零点定理知，F(x)?0在(a,b)内至少有一个实根； 又因为F?(x)?f(x)?内至多有一个实根；

故F(x)?0在(a,b)内有唯一实根.

1?0，知F(x)在(a,b)内是增函数.从而知F(x)?0在(a,b)f(x).