《概率论与数理统计》第四、五章练习
学院 班级、学号 姓名 成绩 一、单项选择题（每小题2分，共16分）说明：请将答案直接填入下表中！
1 2 3 4 5 6 7 8 A C D D D C C C 1.将一枚硬币重复投掷n次，以X与Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于
1 (D)1 22.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X?Y)?DX?DY是X和Y
(A)?1 (B)0 (C)
(A)不相关的充分条件，但不是必要条件 (B)独立的充分条件，但不是必要条件 (C)不相关的充分必要条件 (D)独立的充分必要条件
3.设X是一个随机变量，EX??，DX??(?,??0为常数)，则对任意常数c，必有 (A)E(X?c)2?EX2?c2 (B)E(X?c)2?E(X??)2
(C)E(X?c)2?E(X??)2 (D)E(X?c)2?E(X??)2
4.设随机变量X和Y独立同分布，方差存在且不为零，记U?X?Y，V?X?Y，则随机变量U与V必然
(A)不独立 (B)独立 (C)相关系数不为零 (D)相关系数为零 5.假设随机变量X~N(0,1)，Y~N(1,4)，且相关系数?XY?1，则 (A)P{Y??2X?1}?1 (B)P{Y?2X?1}?1 (C)P{Y??2X?1}?1 (D)P{Y?2X?1}?1
6.设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则 (A)X与Y一定独立 (B)(X,Y)服从二维正态分布 (C)X与Y未必独立 (D)X?Y服从一维正态分布
7.设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，且其方差为??0，令随机变量
221nY??Xi，则
ni?1n?22n?12? (B)D(X1?Y)?? (A)D(X1?Y)?nnn8.设X1,X2,?,Xn,?为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为?(??1)的指数分布，记?(x)为标准正态分布的分布函数，则 D
(C)Cov(X1,Y)??2 (D)Cov(X1,Y)??
2?n??n?X?n?X?n????????i?1i??i?1i??x???(x) (B)limP??x???(x) (A)limP?n??n??n???n????????????n??n??X?nX?????????i?1i??i?1i??x???(x) (D)limP??x???(x) (C)limP?n??n??nn?????????????二、填空题（每小题2分，共14分）
?1
1.设随机变量X的服从参数为?的指数分布，则P{X?DX}? e
1
??1X?0?2.设随机变量X服从二项在区间[?1,2]上服从均匀分布，随机变量Y??0X?0，则方
?1X?0?差DY?
8 91?1e 21，5 23.设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X?EX2}?
4.设一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，当p? 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为
5.设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1在[0,6]上服从均匀分布，X2服从正态分布
N(0,22)，X3服从参数为??3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3，则DY? 46
226.设随机变量X和Y的相关系数为0.5，EX?EY?0，EX?EY?2，则E(X?Y)2? 6 7.设随机变量X和Y的数学期望分别为?2和2，方差分别为1和4，而相关系数为?0.5，
则根据切比雪夫不等式P{|X?Y|?6}?
1 12三、解答题（每题7分，共49分）
1.设随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布，EX?2，DX?3，求条件概率P{X?0|X?2}
2【答】a??1,b?5；
3?3x20?x?12.设连续型随机变量X的概率密度为fX(x)??，试求：
其他?0（1）随机变量X的分布函数FX(x)； （2）数学期望EX与方差DX；
?0?3【解】（1）FX(x)??x?1? （2）EX?x?00?x?1 x?1333222；EX?，DX?EX?(EX)? 4580
3.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)。
?0y???【答】 F(y)??1?e5?1??
y?00?y?2 y?2 2
4.设A,B为两个随机事件，且P(A)?111,P(B|A)?，P(A|B)?，令 432?1A发生?1B发生， X??Y???0A不发生?0B不发生22求：（1）二维随机变量（2）X与Y的相关系数?XY；（3）Z?X?Y（X,Y)的概率分布；
0 2/3 1/6 1 1/12 1/12 的概率分布。 【答】（1） X Y 0 1 （2）?XY?（3） Z P 1 150 2/3 1 1/4 2 1/12
0)，5.设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1)，(1，为顶点的三角形区域上服从均（1，1）匀分布，试求随机变量Z?X?Y的方差。
1 18四、综合与应用题（每题10分，共20分）
【解】DZ?1.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？ 【解】设一周5个工作日内发生故障的天数为X,则X~B(5,0.2)
又设一周内所获利润Y(万元)，则
EY?10?0.32768?5?0.4096?0?0.2048?2?0.05792?5.20896（万元）
2.某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20﹪，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。 （1）试写出随机变量X的概率分布；
（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值。 【解】（1）设在抽查的100个索赔户中，被盗户数为X，则X可以看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此X～b(100,0.2)，故X的概率分布为：
iP{X?i}?C100?0.2i?0.8100?i（i?0,1,2,?,100）
（2）被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14?X?30}的概率，由中
心极限定理得
?30?100?0.2??14?100?0.2?????????
?100?0.2?0.8??100?0.2?0.8? ??(2.5)??(?1.5)??(2.5)??(1.5)?1?0.927 五、证明题（本题10分）
1.对于任意二事件A和B，0?P(A)?1，0?P(B)?1，
P(AB)?P(A)P(B) ??P(A)P(B)P(A)P(B)称为事件A与B的相关系数。
P{14?X?30}????
3
（1）证明：事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零。 （2）利用随机变量相关系数的基本性质，证明|?|?1。 【提示】（1）略；
（2）考虑随机变量X和Y：
?1A发生?1B发生， X??Y???0A不发生?0B不发生易见，EX?P(A),EY?P(B)；DX?P(A)P(A),DY?P(B)P(B) Cov(X,Y)?P(AB)?P(A)P(B)
4
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