4.全等三角形的经典模型（二）.提高班 教师版 - 图文

DCCB图9AEGCDFDEBA图10BA图11E

【探究四】深化探究二中图3的结论； 如图12，可得

结论1：?ABC≌?ADE；BC?DE；

结论2：?BOD??COE??BAD??CAE?60?；

结论3：如图12、图13、图14，可得三对三角形全等（?ABC≌?ADE；?AHD≌?AGB；?AGC≌?AHE）

DDDGB图12AOCHEBGA图13OCHEBGA图14OCHE

结论4：如图15，连接GH，可得?AGH为等边三角形；（由结论3可得AG?AH）

DDGB图15AOCHEBMA图16OCNE 结论5：GH∥BE；（由结论4可得?AGH??BAD?60?） 结论6：连接AO，可得AO平分?BOE；（如图16，分别作AM?BC、AN?DE，AM与AN分别是全等三角形?ABC与?ADE对应边BC和DE上的高，故相等）

初二秋季·第4讲·提高班·教师版

9

ED题型一 手拉手模型 巩固练习

【练习1】 如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AD=AB，AE=AC，则下列正确 的是（ ）

A. △ABD≌△ACE B. △ADF≌△AES

C. △BMF≌△CMS D. △ADC≌△ABE

B复习巩固

FASMC【解析】 D

【练习2】 如图，正五边形ABDEF与正五边形ACMHG共点于A，连接BG、CF，则线段BG、

CF具有什么样的数量关系并求出?GNC的度数． HG【解析】 先证△ABG≌△AFC FEN 可得BG=CF，?ACF??AGB

P∵?NPG??APC

M?GNC??GAC?108?∴ A

题型二 双垂+角平分线模型 巩固练习

【练习3】 已知AD平分?BAC，DE?AB，垂足为E，DF?AC,

垂足为F，且DB=DC，则EB与FC的关系（ ）

A. 相等 B. EBFC D.以上都不对 【解析】 A

题型三 半角模型 巩固练习

【练习4】 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以

D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则

A△AMN的周长为 ． 【解析】 6

MBDNCDBCEBDAFC

10

初二秋季·第4讲·提高班·教师版

A【练习5】 如图，在四边形ABCD中，?B??ADC?180?，

AB?AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且

1 ∠EAF?∠BAD，求证：EF?BE?FD

2

【解析】 证明：在BE上截取BG，使BG?DF，连接AG．

∵∠B?∠ADC?180?，∠ADF?∠ADC?180?， ∴∠B?∠ADF． ∵AB?AD，

∴△ABG≌△ADF．

∴∠BAG?∠DAF，AG?AF．

BDCFEADBGCF1∴∠BAG?∠EAD?∠DAF?∠EAD?∠EAF?∠BAD．

2∴∠GAE?∠EAF． ∵AE?AE，

∴△AEG≌△AEF． ∴EG?EF

∵EG?BE?BG，∴EF?BE?FD．

E

思维拓展训练(选讲)

训练1. 如图，C为线段AB上一点，分别以AC、CB为边在AB同侧作等边△ACD和等边

△BCE，AE交DC于G点，DB交CE于H点，求证：GH∥AB．

E

D

HG ABC

【分析】 本题中，△ACD与△BCE是等边三角形，因此AC?CD，BC?CE，

初二秋季·第4讲·提高班·教师版

11

?ACD??ECB?60°，因为A、C、B在同一条直线上，故?DCE?60°．这样可以得

到△ACE≌△DCB，?AEC??DBC，故可以得到△CEG≌△CBH，则GC?HC，?CGH??CHG?60°，所以?ACG??CGH?60°，故GH∥AB．

【解析】 ∵△ACD和△BCE是等边三角形（已知）

∴AC?CD，BC?CE（等边三角形的各边都相等） ?ACD??BCE?60°（等边三角形的每个角都等于60°） ∵?ACD??DCE??BCE?180°

∴?DCE?60°，?ACE??DCB?120°．

?AC?DC?在△ACE和△DCB中，??ACE??DCB

?CE?CB?∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴?AEC??DBC（全等三角形的对应角相等）

??BCH??ECG?60°?在△BCH和△ECG中，?BC?CE

??CBH??CEG?∴△BCH≌△ECG（ASA）

∴CH?CG（全等三角形的对应边相等） ∴?CGH??CHG（等边对等角）

∵?GCH??GHC??CGH?180°（三角形内角和定理） ∴?GHC??CGH?60°．

∴?ACG??CGH?60°（等量代换） ∴GH∥AB（内错角相等，两直线平行）

训练2. 条件：正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，?MAN?45?．

结论：⑴ MN?DN?BM；⑵ AH?AB.

ADA D

Q

HH

CCMB BM

N

【解析】 ⑴在CD上取一点Q，使DQ=BM

先证△AMB≌△AQD

可得AM=AQ

再证△AMN≌△AQN ∴MN=NQ

12

初二秋季·第4讲·提高班·教师版

N