1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
9
A. 529C. 10
18 B.
529 D.
5
34－12
解析：选C 因为＝≠，所以两直线平行，
685将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离， 即
|－24－5|2929
＝，所以|PQ|的最小值为.
1062＋8210
2．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为________．
解析：设点P的坐标为(a，b)． ∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)． －3＋1
而AB的斜率kAB＝＝－1，
4－2
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3， 即x－y－5＝0.
∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上， ∴a－b－5＝0.①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2， ∴
|4a＋3b－2|
＝2，即4a＋3b－2＝±10，②
42＋32?a＝1，?
由①②联立解得?或
?b＝－4?
?
?8?b＝－7.
27a＝，7
278，－?. ∴所求点P的坐标为(1，－4)或?7??7278
，－? 答案：(1，－4)或?7??7
[解题师说]
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距离问题的常见题型及解题策略
(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．
(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．
[冲关演练]
1．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( ) A.2 2
B．1 D．2
C.2
解析：选C 因为点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小．因为直线y＝x－2的斜率等于1，曲线y11
＝x2－ln x的导数y′＝2x－，令y′＝1，可得x＝1或x＝－(舍去)，所以在曲线y＝x2
x2－ln x上与直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P到直线y＝x－2的最小距离为2，故选C.
2．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．32 C．33
B．22 D．42
解析：选A 依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得
|m＋7||m＋5|
＝?|m＋7|＝|m＋5|22
|－6|
?m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为
2＝32.
考点三 对称问题 ?题点多变型考点——追根溯源?
对称问题主要包括中心对称和轴对称两类问题，中心对称就是点(线)关于点的对称，轴对称就是点(线)关于线的对称，此类问题多以选择题或填空题的形式考查，难度适中． 常见的命题角度有：
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(1)点关于点的对称； (3)线关于点的对称； (2)点关于线的对称； (4)线关于线的对称． [题点全练]
角度(一) 点关于点的对称
1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上， 所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0
[题型技法] 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得
??x＝2a－x1，?进而求解． ?y＝2b－y1，?
角度(二) 点关于线的对称
2.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 8
C. 3
B．1 4 D.
3
解析：选D 以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(0 4－t ·(x＋t)，设△4＋t 44?4444－t?4?，.因为重心G?，?在光线RQ上，所以有＝＋t，ABC的重心为G，易知G??33??33?34＋t?3?444 即3t2－4t＝0.所以t＝0或t＝，因为0 333 第 7 页 共 23 页 [题型技法] 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程x＋x?y＋y?A?＋B????2??2?＋C＝0，组?y－y?A???－B?＝－1，?x－x· 1 2 1 2 22 11 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中 B≠0，x1≠x2)． 角度(三) 线关于点的对称 3．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________． 解析：在直线l上取两点B(1,1)，C(10,7)，B，C两点关于点A的对称点为B′(－3，y＋11x＋12－5)，C′(－12，－11)，所以直线m的方程为＝，即2x－3y－9＝0. －5＋11－3＋12 答案：2x－3y－9＝0 [题型技法] 线关于点的对称的求解方法 (1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； (2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 角度(四) 线关于线的对称 4．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________． ???2x－y＋3＝0，?x＝－1，?解析：法一：联立得? ???x－y＋2＝0，?y＝1. 在直线2x－y＋3＝0上取一点(0,3)， 设其关于直线x－y＋2＝0的对称点为(a，b)， ab＋3 ??2－2＋2＝0，则?b－3??a－0＝－1， ??a＝1， 解得? ?b＝2.? 故所求直线方程经过点(－1,1)，(1,2)， y－1x＋1 所以该直线方程为＝，即x－2y＋3＝0. 2－11＋1法二：设所求直线上任意一点P(x，y)， 则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)， 第 8 页 共 23 页
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