专题2.8 函数与方程
1．（2019·湖北十堰一中月考）设f(x)是区间[－1,1]上的增函数，且f ??1?－2???·f ??1?2???
＜0，则方程f(x)＝0在区间[－1,1]内( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根 C．有唯一的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】∵f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f ??1?－2???·f ??1?2???＜0，
∴f(x)在区间??11?－2，2???
上有唯一的零点．
∴方程f(x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．
2．（2019·河南安阳一中期中）函数f(x)＝ln(2x)－1的零点位于区间( ) A．(2,3) B．(3,4) C．(0,1) D．(1,2)
【答案】D
【解析】∵f(x)＝ln(2x)－1是增函数，且是连续函数，
f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 4－1＞0，
∴根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上．
3．（2019·辽宁阜新一中月考）设函数f(x)＝ln x－2x＋6，则f(x)零点的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】令f(x)＝0，则ln x＝2x－6，令g(x)＝ln x(x＞0)，h(x)＝2x－6(x＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2，故选B.
1
?1?x4．（2019·吉林通化一中期末）已知函数f(x)＝??－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1
?5?
＜x0，则f(x1)的值( )
A．恒为正值 C．恒为负值 【答案】A
B．等于0 D．不大于0
?1?x【解析】因为函数f(x)＝??－log3x在(0，＋∞)上是减函数，所以当0＜x1＜x0时，有f(x1)＞
?5?
f(x0)．又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即f(x1)的值恒为正值，故选A.
5．（2019·河北沧州一中期中）已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
1A. 4【答案】C
【解析】令y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x＋1＝x－λ，即2x－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝7－. 8
6．（2019·哈尔滨三中期末）已知函数f(x)＝2＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则( )
A．a 【解析】令函数f(x)＝2＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0； 令g(x)＝log2x＋x＋1＝0， 则0 2 xx2 2 2 2 2 1B. 87C．－ 83D．－ 8 B．a ?7．（2019·广西来宾二中期中）已知函数f(x)＝? 1，x≤0，??1则使方程x＋f(x)＝m?x，x>0，有解的实数m的取值范围是( ) A．(1，2) B．(－∞，－2] C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 【答案】D 【解析】当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋1 x＝m， 解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)． 2 8．（2019·江西吉安一中期末）定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝?? ?x＋2，x∈[0，1），?? 2－x2 ，x∈[－1，0），且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【解析】由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2. 在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示， 由于两函数图象有2个交点． 所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内有2个零点． 9．（2019·江苏徐州一中期中）已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2 －2x. (1)写出函数y＝f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围． 【解析】(1)设x＜0，则－x＞0， 所以f(－x)＝x2 ＋2x.又因为f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2 －2x. 3 ??x－2x，x≥0， 所以f(x)＝?2 ?－x－2x，x＜0.? 2 (2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解， 即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点． 作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1， 故实数a的取值范围为(－1,1)． 10．（2019·河山东威海一中期中）已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝ fx－4ln x的零点个数． x【解析】(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}， 所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax－2ax－3a，且a＞0. 所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x－2x－3. 22 x2－2x－33 (2)因为g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x＞0)， xx34（x－1）（x－3） 所以g′(x)＝1＋2－＝. 2 xxx令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3. 当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下. x g′(x(0,1) ＋ 1 0 极大值 (1,3) － 3 0 极小值 (3，＋∞) ＋ ) g(x) 当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0. 又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上 4
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