微积分考试复习题
x的定义域是（ D ）D．x??1 且x?0 lg?x?1?
一、单项选择题1．函数y?2．下列各函数对中，D ）中的两个函数相等 Df(x)?sin2x?cos2x，g(x)?1 3．设f(x)?，则f(f(x))?（ C ）． C．x 4．下列函数中为奇函数的是
x?1x?1，当（ A ） 5．已知f(x)?tanxx?1时，f(x)为无穷小量. A. x ?01x（ C ）．C．y?ln6．当x???时，下列变量为无穷小量的是（ D．
sinx x?sinx,x?07．函数f(x)?? 在x = 0处连续，则k = ( C )．C．1 x???k,x?0118．曲线y?在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ） A．?
2x?19．曲线y?sinx在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）．A. y = x
110．设y?，则dy?（ B ）． B．dx lg2xxln1011．下列函数在指定区间(??,??)上单调增加的是（ B ）．B．e x
12．设需求量q对价格p的函数为q(p)?3?2p，则需求弹性为Ep=（ B ）B．
?p3?2p
?x?2,?5?x?0二、填空题1．函数f(x)??2的定义域[-5，2] ?x?1,0?x?212．函数f(x)?ln(x?5)?的定义域是 (-5, 2 ) ．
2?x3．若函数f(x?1)?x2?2x?5，则f(x)?x2?6．
10x?10?x4．设f(x)?，则函数的图形关于 y轴 对称．
25．已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为 3.6
6．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q – 0.25q 2 ．
x?sinxsinx，当 x?0 时，f(x)为无穷小量． ? 1 8．已知f(x)?1?xx?x2?1x?19. 已知f(x)??，若f(x)在(??,??)．内连续，则a? 2 . ?x?1?ax?1?7. limx??210．曲线y?x在点(1,1)处的切线斜率是y?(1)?0.5．11．函数y的驻点是x ?3(x?1)?112．需求量q对价格p的函数为q(p)?100?e，则需求弹性为Ep??三、计算题1．已知y?2x??p2p 2cosx，求y?(x) ．2．已知f(x)?2xsinx?lnx，求f?(x) ． x3．已知y?cos2x?sinx2，求y?(x) ．4．已知y?ln3x?e?5x，求y?(x) ．5．已知y?52cosx，
π
求y?()；
2
6．设y?ecos2x?xx，求dy7．设y?esinx?cos5x，求dy．8．设y?tanx3?2?x，求dy．
四、应用题1．设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)?100?0.25x2?6x（万元）,求：（1）当x?10时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时，平均成本最小？
2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q（q为需求量，p为价格）试求（1）成?1000?10p本函数，收入函数（2）产量为多少吨时利润最大？3．某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？ （2）最大利润是多少？
4．某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C(q)?0.5q2?36q?9800（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？
2q5．已知某厂生产q件产品的成本为C．问要使平均成本最(q)?250?20q?（万元）
10少应生产多少件产品？
cosx?xsinx?cosxxsinx?cosxx )??2xln2??2ln2?22xxx1x?2xcoxs? 2．解 f?(x)?2xln2?sinx2x(2x)??coxs2(x2)? ??2xsin2xln2?2xcosx2 3．解 y?(x)??sin三、计算题1．解： y?(x)?(2x?3ln2x?5e?5x 4．解：y?(x)?3lnx(lnx)??e(?5x)? ?x5．解：因为 y??(52cosx)??52cosxln5(2cosx)???2sinx52cosxln5
2?5xππ2cos 所以 y?()??2sin?52ln5??2ln5
22132cos2x6．解：因为y??2e(?sin2x)?x 所以 dy?[2ec2πo2sx3(?sin2x)?x2]dx
21n)??5co4sx(coxs)? ?esinxcosx?5cos4xsinx 7．解：因为 y??esixn(six 所以 dy?(esinxcosx?5cos4xsinx)dx
8解：因为
1y??(x3)??2?xln2(?x)?23cosx
3x2??2?xln223cosx所以
3x2?xdy?(?2ln2)dx 23cosx四、应用题1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为C(x)?100?0.25x2?6x
100?0.25x?6，C?(x)?0.5x?6 所以，C(10)?100?0.25?102?6?10?185 x?100100? C(10)?， （2）令 ?0.25?10?6?18.5C(10)?0.5?10?6?11C(x)??2?0.25?0，
10x得x?20（x??20舍去）因为x?20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x?20时，平均成本最小.
12．解 （1）成本函数C(q)= 60q+2000． 因为 q，即p?100?q， ?1000?10p10121 所以 收入函数R(q)=p?q=(100?q)q=1． 00q?q1010121 （2）因为利润函数L(q)=R(q)-C(q) =1-(60q+2000) = 40q-q2-2000 00q?q101012且Lq-2000)?=40- 0.2q令L)=(40q-)= 0，即40- 0.2q= 0，得q= 200，它?(q?(q10是L(q)在其定义域内的唯一驻点． 所以，q= 200是利润函数L(q)的最大值点，C(x)?即当产量为200吨时利润最大．
3.（1）由已知R?qp?q(14?0.01q)?14q?0.01q2
利润函数L?R?C?14q?0.01q2?20?4q?0.01q2?10q?20?0.02q2
则L??10?0.04q，令L??10?0.04q?0，解出唯一驻点q?250.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，
（2）最大利润为L(250)?10?250?20?0.02?2502?2500?20?1250?1230（元） 4．解 因为 C(q)?C(q)9800?0.5q?36? (q?0) qq980098009800?C(q)?00.5?，即=0，得q1=140，q2= -140C?(q)?(0.5q?36?)??0.5?2 令q2qq（舍去）.
q1=140是C(q)在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以
即为使平均成本最低，每天产量应为140q1=140是平均成本函数C(q)的最小值点，
件. 此时的平均成本为 C(140)?0.5?140?36?5．解 因为 C(q)=
9800?176 （元/件） 140C(q)20q=5?20? qq10 C?(q)=(250?20?qq2501)?=?2? 10q10
501 令C?(q)=0，即?2，q1=50是C(q)在其定义?0，得q1?50，q2=-50（舍去）2?q10域内的唯一驻点．
所以，q1=50是C(q)的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品． 积分学一、单项选择题
1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A．y = x2 + 3 2．下列等式不成立的是（ A．exdx?d(ex) 3．若?f(x)dx??e1x?x21?2?c，则f?(x)=（ D. ?e
4x4．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C．?xsin2xdx 5. 若?f(x)edx??e?c，则f (x) =（ C．1x1 2xx6. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是( B．?af(x)dx?F(x)?F(a)
ex?e?xdx 8．下列定积分计算正确的是7．下列定积分中积分值为0的是（ A．??121（ D．???sinxdx?0
9．下列无穷积分中收敛的是（ C．?1（ C．
二、填空题1．d?edx? edx 2．函数f(x)?sin2x的原函数是 -cos2x + c (c 是任意常数) 3．若f?(x)存在且连续，则[?df(x)]?? f?(x)4．若?f(x)dx?(x?1)2?c，则f(x)?2(x?1) 5．若?f(x)dx?F(x)?c，则?e?xf(e?x)dx=?F(e?x)?c 6．
1???1dx 10．无穷限积分 x2???11dx=x312?x2?x212de2ln(x?1)dx?0 dx?1??1xdx是收敛的．dx?7．积分??12 0 8．无穷积分（判别其敛散性） 22?0(x?1)(x?1)39．设边际收入函数为R?(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + q
21x2?4x2?4dx 解 ?dx=?(x?2)dx=x2?2x?c 三、计算题1．?x?2x?2211sinsin1112．计算?2xdx 解 ?2xdx???sind()?cos?c
xxxxx2xdx2xdx23．计算? 解 ??2?2xd(x)?2x?c
ln2xx
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