例题3(投影) 一木箱质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为μ，现用斜向右下方与水平方向成θ角的力F推木箱，求经过t秒时木箱的速度。
解：(投影) 画图分析：
木箱受4个力，
将力F沿运动方向和垂直运动方向分解： 水平分力为Fcosθ 竖直分力为Fsinθ 据牛顿第二定律列方程
竖直方向 N-Fsinθ-G=0 ① 水平万向 Fcosθ-f=ma ②
二者联系 f=μN 由①式得N=Fsinθ＋mg 代入③式有 f=μ(Fsinθ＋mg)
可见解题方法与受水平力作用时相同。 （三）巩固练习
1．如图4所示,质量为4 kg的物体静止于水平面上,物体与水平面间的动摩擦因数为0.5,物体受到大小为20 Ｎ,与水平方向成３０°角斜向上的拉力F作用时沿水平面做匀加速运动,求物体的加速度是多大?(ｇ取10 m/s2
)
解析:以物体为研究对象,其受力情况如图5所示,建立平面直
5
③ 图4
角坐标系把F沿两坐标轴方向分解,则两坐标轴上的合力分别为
Fx?Fcos??F?Fy?FN?Fsin??G,
物体沿水平方向加速运动,设加速度为ａ,则ｘ轴方向上的加速度
ａｘ＝ａ,ｙ轴方向上物体没有运动,故ａy＝０,由牛顿第二定律得
Fx?max?ma,Fy?may?0
所以Fcos??F??ma,FN?Fsin??G?0 又有滑动摩擦力F???FN 以上三式代入数据可解得 物体的加速度a=0.58 m/s
小结:当物体的受力情况较复杂时,根据物体所受力的具体情况和运动情况建立合适的直角坐标系,利用正交分解法来解.
2．一斜面AB长为10 ｍ,倾角为３０°,一质量为２kg的小物体(大小不计)从斜面顶端A点由静止开始下滑,如图6所示(ｇ取10 m/s)
(1)若斜面与物体间的动摩擦因数为0.5,求小物体下滑到斜面底端B点时的速度及所用时间.
(2)若给小物体一个沿斜面向下的初速度,恰能沿斜面匀速下滑,则小物体与斜面间的动摩擦因数μ是多少?
解析:(1)以小物体为研究对象,其受力情况如图7所示,建立直角坐标系,把重力Ｇ沿ｘ轴和ｙ轴方向分
解:G1?mgcos?,G2?mgsin?小物体沿斜面即ｘ轴方向加速运动,设加速度为ａ,则ａx＝ａ,物体在ｙ轴方向没有发生位移,没有加速度则ａy＝０,由牛顿第二定律得,
6
2
2.
图5
图6
图7
Fx?G2?F??maxFy?FN?G1?may
所以
mgsin??F??maFN?mgcos?
又F???FN 所以
mgsin???mgcos??g(sin???cos?) m?10?(sin30??0.5?cos30?)m/s2?0.67m/s2a?设小物体下滑到斜面底端时的速度为ｖ,所用时间为ｔ,小物体由静止开始匀加速下滑,
由vt?v0?2as得
22v?2as?2?0.67?10m/s?3.7m/s
由vt?v0?at得
t?v3.7?s?5.5s a0.67(2)小物体沿斜面匀速下滑时,处于平衡状态,其加速度ａ＝０,则在图7的直角坐标中ax?0,ay?0,由牛顿第二定律,得
Fx?G2?F??0 Fy?FN?G1?0
又F???FN
所以
F??mgsin?FN?mgcos?
7
所以,小物体与斜面间的动摩擦因数
??F?FN?tan??tan30??0.58
小结:若给物体一定的初速度,当μ＝tgθ时,物体沿斜面匀速下滑；当μ＞tgθ（μ
mgcosθ＞mgsinθ）时,物体沿斜面减速下滑；当μ＜tgθ（μmgcosθ＜mgsinθ）时,
物体沿斜面加速下滑.
3．静止在水平地面上的物体的质量为2 kg,在水平恒力F推动下开始运动,4 s末它的速度达到4 m/s,此时将F撤去,又经6 s物体停下来,如果物体与地面的动摩擦因数不变,求F的大小.
解析:物体的整个运动过程分为两段,前4 s物体做匀加速运动,后6 s物体做匀减速运动.
前4 s内物体的加速度为
a1?v?04?m/s2?1m/s2 ① t14设摩擦力为Fμ,由牛顿第二定律得
F?F??ma1 ②
后6 s内物体的加速度为
a2?0?v?42?m/s2??m/s2 ③ t263物体所受的摩擦力大小不变,由牛顿第二定律得
?F??ma2 ④
由②④可求得水平恒力F的大小为
2F?m(a1?a2)?2?(1?)N?3.3N
3小结:解决动力学问题时,受力分析是关键,对物体运动情况的分析同样重要,特别是像这类运动过程较复杂的问题,更应注意对运动过程的分析.
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