初中数学竞赛标准教程及练习比较大小

）21初中数学竞赛精品标准教程及练习（

比较大小

内容提要 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论， 一、

常用求差法。根据．不等式的性质： 。ba＜当a－b＜0时a时，＞b； 当a－b＝0时，a=b； 当

a－b＞0 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符．号。 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。 ．是实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a．2，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等实数，则a0≥式）。诸如 3122220+＞+a+1=(a+) a +1＞0， b)(a－a≥0，

422220时，－（a－b）＜ －（a +a+2）＜0 当a≠－ab≤0，

二、例题

3 的大小 与a试比较

a 例3 a=a(a+1)(a－1) 解：a － 33 即a =aa －a=0, 三个零点把全体，1以－1，0 4个区间，由负因数的个数决定其符号：实数分为 33a ＜ 即3个负因数）∴aa－a＜01当a＜－1时，a+1＜0,a＜0,a－＜0（ 33a 即aa＞－a＞0 ＜a＜0时 a＜0,a－10（2个负因数） ∴当－1＜ 33a即a＜－a＜0 0 a－1＜（1个负因数） ∴a ＜当0＜a1时， 33aa＞＞0 即当a＞1时，没有负因数， ∴aa－ 3=a a时，a=0,－1，1综上所述当 3a＜a＜1时，a当a＜－1或0＜ 3（试总结符号规律） a＞a。＜a＜0或a＞1时，当－1 什么数比它的倒数大？ 例1＞0时，x －x 比它的倒数大，解：设这个数为x，则当并且只当

x2?1(x?1x)(x?1)1? x －＝ －1 0 1 xxx以三个零点－1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知 当x＞1或－1＜x＜0时，x比它的倒数大。 例

3 己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从A去B，甲乘汽车到中点，后一半用歩行，乙全程骑自行车，问誰先到达？ 解：设从A到B有x千M，步行速度每小时y 千M，那么甲、乙走完全程所用时间分别是xx5xx

t＝＝t 22??，

乙甲

4yy8y4y 1 / 3

x3xx5??0t－t＞＞0，yt－t＝＞0 ∴∵x

222

乙乙甲甲

yy88y4地答：乙先到达B

ab+bc+ca+b＞+ca≠b≠c，求证：a己知例4 1222222）－+c＝ab+bc+ca×2证明：a（+ba+c+b－

（a-b）+(c-a) 22220 21222）－+2c＝（2a2ab+2bc+2ca+2b 21222］+(b-c)＝［

＞0，＞0，(b-c)(c-a)∵a≠b≠c，（a-b）＞ 222ab+bc+ca+c＞∴a+b 2222ab(1)+b，∴（a-b）＞＞0 ab+bc+ca

a又证：∵a≠b2222>2ca(3) 同理b2bc(2) c+c+a＞

222222

ab+bc+ca +c 即(1)+(2)+( 3)得2aa+2b＞+2c+b＞2ab+2bc+2ca2224 +a)）与(1+a+a1例5 比较 3

（＋a的大小2223422222 -2aa+a3［（1＋)1解：3（＋a）+a］－）－(1+a+a-2a-2a)(1+a+a＝222) ＋)a+a－＝2(1+a+a6a(12222 -3a)=2(1＋a+a =2(1＋a+a)(1-a))( 1＋a+a31222??a)0 ≥＞＝（0，∵1＋a+a(1-a)

422422 ）＝（1＋a(1+a+a+a)∴当a=1时，32422 ）＞1＋a(1+a+a+a)

当a≠1时，3（

4?2?2x?1?x 例6 解

方程 两个零点分为3个区间解：以－0.5,和21 x=－时，－(2x+1)－(x-2)=4, 解得 当x<-0.5x=1 =4, 解得2x+1）－（x-2）时，（ 当－0.5≤x<25 范围无解∴在x≥2)＝4 解得x=2, +(x 当x≥2时，（2x+1）－

31, x=1 －综上所述原方程有两个解x=21

2a?a?1

三、练习 a,b,0a+b<0. 试把及其相反数记在数轴上。1． 己知a>0,b<0,且 并用“＜”号把它们连接。 ． 比较下列各组中的两个数值的大小：21a?a2 4 a②①a与与什么数的平方与立方相等？什么数的平方比立方大？．3

；乙占b，另一半路程用时速千MA甲乙两人同时从去B，甲一半路程用时速a千M4． M,问两人誰先到达？另一半时间用时速a千M,b千总时间的一半用时速 b+d的大小试比较∶b=cd， a+c与∶且 5．己知a>b>c>d>0aax+by>ay+bx 己知a

求证：①ax+by+cz>az+bx+cy ②ax+by+cz>az+bx+cy (提示：可应用第6题的结论)

8． 己知a

11a??1④①a③－2b<0 ②ab<1

2222

（即－1＜a,b,c<0 abb9.若a,b,c都是大于－1的负数，

下列不等式哪些不能成立？试各举一个反例。

<0 ④-c>1 ③aabc>-1

-b①a+b－c>0 ②(abc)10.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管，其中有的是进水管，有的是出水管，同时开放其中的两条水管，注满水池所用的时间列表如下

开放的水管号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ⑤① 10

21563时间（小时） 问单独开放哪条水管能最快注満水池？答：＿＿＿

21参考答案：练习b<-a<0

2a?1224…… ①用求差法：2. a-a =a②(a+1)(a-1)…。

=aa-a(1-2s)?b(at－t＝ a=b时同时到达，a≠b时，乙先到 4.

乙甲

(a?1)(a?2)232 a)……3.

2ab(a?b)ad(a?b)(b?d)>0…… (a+d)-((b+c)=由已知c=5.

bb(ax+by)-(ay+bx)=…… 6.

运用上一题的结论 7.

只有①成立，②③④都可以 8.a=－2,b=-－3 作为反例 只有④成立 9. 10.（4）

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