2019[高数]自学指导书

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《高等数学》自学指导书 一、课程性质和目的：

《高等数学》课程是理工科各专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养社会主义建设需要的大专工程技术和工程管理人才服务的。

通过本课程的学习，使学生较系统地掌握高等数学基本知识，领会微积分的辨证思想和方法。通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。 二、学习内容和要求 第一章 函数、极限和连续 （一）函数

（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。 （2）理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。 （3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图像。 （4）掌握函数的四则运算与复合运算。

（5）理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

（6）了解初等函数的概念。 （二）极限

（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。

（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x 趋于无穷（x →∞，x →+∞，x →-∞）时函数的极限。 （4）掌握函数极限的四则运算及存在定理。

（5）理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小的性质、无穷小量的比较及无穷小与无穷大之间的关系。

（5）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 （三）连续

（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类。

（2）掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，符合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型。

（3）掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会利用介值定理，推证一些简单命题。

（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。 习题

1. 用分段函数表示函数 y =3-|x -1|.

?x 2+x , x ≥02. 判别函数f (x ) =?2 的奇偶性. ?-x +x , x

3．下列函数能否复合为函数y =f [g (x )], 若能, 写出其解析式、定义域、值域. (1) y =f (u ) =u ,

(2) y =f (u ) =ln u , u =g (x ) =x -x 2; u =g (x ) =sin x -1. 4．分析函数 y =arctan cos e 2x 的复合结构.

5. 判别下列极限是否存在，如果存在，求出其值. (1) lim 2x →01x ; (2) lim e x →∞x ; (3) lim e x →0-x 2.

6. 若f (x ) >0, 且lim f (x ) =A . 问：能否保证有A >0的结论？试举例说明. 7. 求极限 lim

tan x -sin x . 2x →0x sin x 8. 求极限lim (3x →+∞x 1x x +9) . 2x 2-2x . 9. 求 lim x →∞(x -1) 2 e α-e β

10. 求极限 lim α→βα-β

11. 求极限lim (x +2e ) x →0x 1x -1. 12. 估计方程x -6x +2=0的根的位置. 第二章 导数与微分 （一）导数

（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程 。

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 （4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法。会求分段函数的导数。

（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数。 （二）微分

（1）理解函数的微分概念，

（2）掌握微分法则，了解可微与可导的关系， （3）会求函数的一阶微分。 3 练习

1. 函数f (x ) 在某点x 0处的导数f '(x 0) 与导函数f '(x ) 有什么区别与联系? 2. 求曲线y =2x -x 3上与x 轴平行的切线方程. 4. 求函数y =

5. y =(1+x 2) tan x , 求y '. 6. 求函数y =cos 2x ln x 的二阶导数. 7. 求函数y =x -x 的微分dy .

8. 因为一元函数y =f (x ) 在x 0的可微性与可导性是等价的, 所以有人说“微分就是导数, 导数就是微分”, 判断这种说法对吗? 2tan x +4ln x 的导数. 1+x 2

第三章 中值定理及导数的应用 （一）中值定理

（1）了解罗尔中值定理，

（2）了解拉格朗日中值定理及其几何意义。 （二）导数的应用

（1）熟练掌握洛必达法则求未定式的极限方法。

（2）掌握利用导数判断函数的单调性及求函数的单调区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。

（3）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，并且会解简单的应用问题。

（4）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 （5）会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。 练习

1. 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.

2. 设f (x ) 有一阶导数, f (0) =f '(0) =1, 求lim x →0f (sinx ) -1. ln f (x )

3. 设函数f (x ) 在(a , b ) 内二阶可导, 且f ''(x 0) =0, 其中x 0∈(a , b ) , 则(x 0, f (x 0)) 是否一定为曲线f (x ) 的拐点? 举例说明

4. 若f (a ) 是f (x ) 在[a , b ]上的最大值或最小值, 且f '(a ) 存在, 是否一定有f '(a ) =0?

5. 两坐标轴x =0, y =0是否都是函数f (x ) =

6若函数f (x ) 有lim f (x ) =0, lim x →+∞x →-∞sin x 的渐近线? x f (x ) =1, x

f (x ) =0, lim f (x ) =∞, 并且当x ∈(0, 1) 时, f '(x )

f '(x ) >0(x ≠2), 当x ∈(1/2, 2) 时, f ''(x ) >0, 否则f ''(x ) (1) 函数f (x ) 的单调区间(注明增减) 是_______. (2) 函数曲线的凹向和拐点是_______.