【解】 (1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝3. 3??3??
???又F2，0，所以直线l的方程为y＝3x－2?. ????
2y?＝6x，92
联立?消去y得x－5x＋＝0. 3??4x－2?，?y＝3???
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5， pp
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋p， 所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.
339
又准线方程是x＝－2，所以M到准线的距离为3＋2＝2. [能力提升层次]
1．(2014·湖南省长沙一中期中考试)已知抛物线x2＝2py(p>0)的|AF|焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若|BF||AF|
∈(0,1)，则|BF|＝( )
1111A.5 B.4 C.3 D.2
p????0，【解析】 因为抛物线的焦点为F2?，故过点F且倾斜角为?
3p23
30°的直线的方程为y＝3x＋2，与抛物线方程联立得x2－3px－p23|AF||xA|1
＝0，解方程得xA＝－3p，xB＝3p，所以|BF|＝|x|＝3，故选C.
B
【答案】 C
2．(2013·大纲卷)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的→→焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA·MB＝0，则k＝( )
12
A.2 B.2 C.2 D．2
【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜率为k的直线的方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝488
＋k2，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝k，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)→→
＋4]＝－16，因为MA·MB＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.
【答案】 D
22
xy
3．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线3－3＝1
相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
p?y＝－2，p2
由于x＝2py(p>0)的准线为y＝－2，由?
?x2－y2＝3，
【解析】
解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为
?A?－ ?
?12p?
?3＋4p，－2，B? ??
12p?
3＋4p，－2?，所以AB＝2
?
13＋4p2.
3
由△ABF为等边三角形，得2AB＝p，解得p＝6. 【答案】 6
4．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积等于10时，求k的值．
【解】 过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，
2
??x＝－y，
由方程组?消去x，整理得ky2＋y－k＝0，
??y＝k?x＋1?，
1
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝－k，y1y2＝－1.
设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(－1,0)． 111
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝2|ON||y1|＋2|ON||y2|＝2|ON||y1－y2|， 112∴S△OAB＝2?y1＋y2?－4y1y2＝211
解得k＝－6或6.
1k2＋4＝10，
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