中考总复习整式与因式分解

中考总复习整式与因式

分解

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中考总复习：整式与因式分解

【考纲要求】

1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；

2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查. 【知识网络】

【考点梳理】 考点一、整式 1.单项式

数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：

（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

2.多项式

几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的． 要点诠释：

（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 3.整式 单项式和多项式统称整式．

4.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． 5.整式的加减

整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6.整式的乘除

①幂的运算性质：

②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：

④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：

平方差公式：

完全平方公式：

在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

要点诠释：

（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即am?an?ap?am?n?p（m,n,p都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即am?n?am?an（m,n都是正整数）.

（4）公式(am)n?amn的推广：((am)n)p?amnp (a?0，m,n,p均为正整数) （5）逆用公式： amn??am???an?，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将

nm某些幂变形，从而解决问题.

（6）公式(ab)n?an?bn的推广：(abc)n?an?bn?cn (n为正整数).

（7）逆用公式：anbn??ab?逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底

?1??1?数互为倒数时，计算更简便.如：???210???2??1.

?2??2?1010n （8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两

个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘，x?ax?b?x2?a?bx?ab

??????.考点二、因式分解

1.因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多

项式因式分解．

2.因式分解常用的方法

（1）提取公因式法：ma?mb?mc?m(a?b?c) （2）运用公式法：

平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b)；完全平方公式：a2?2ab?b2?(a?b)2 （3）十字相乘法：x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解. （5）添、拆项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.

（6）运用求根公式法：若ax2?bx?c?0(a?0)的两个根是x1、x2，则有：

ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2).

3.因式分解的一般步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 要点诠释：

（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．

（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

（5）分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 四项 分组分解五项 法 六项 分组方法 二项、二项 三项、一项 三项、二项 三项、三项 二项、二项、二项 三项、二项、一项 【典型例题】

类型一、整式的有关概念及运算

1．若多项式x2+ax+8和多项式x2-3x+b相乘的积中不含x2、x3项，求（a-b）3-（a3-b3）的值． 【思路点拨】

特点 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 先完全平方公式后平方差公式 各组之间有公因式 各组之间有公因式 可化为二次三项式