变量代换求解常微分方程

实用标准文案

题目：

文档

变量代换求解常微分方程

院 （系）： 理学院 专 业： 信息与计算科学

学 生： 郝腾宇

实用标准文案

摘 要

本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。

变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。常微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解 。其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。

关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解

文档

实用标准文案

目 录

一、

变量代换法求解一阶微分方

程……………………………………………………………3 二、

变量代换法求解二阶微分方

程…………………………………………………………………6

三、 变量代换法求解三阶微分方

程…………………………………………………………………7

四、 变量代换法求解n阶微分方

程…………………………………………………………………7

五、 变量代换法求解Euler阶微分方

程……………………………………………………………9

六、 变量代换法在研究解或轨线性态中的应

用…………………………………………….10

七、 函数变换法求解常微分方

程……………………………………………………………………11

八、 三角变换法求解常微分方

程……………………………………………………………………13

九、 拉普拉斯变换求解常微分方

程………………………………………………………… ……14

文档

实用标准文案

1变量代换法求解一阶微分方程

dya1x?b1y?c1?y?1）对于齐次微分方程 是u的连续 ?g?? ，这里?dxxdax?by?c??x222函数，做变量代换u?

dyg?u??uyd，使方程化为变量分离方程u?，可求解。 xdxxdydx?a1x?b1y?c1，这里a1，b1，c1，a2，b2，c2均

a2x?b2y?c22)对于准齐次微分方程为常数。

①当

dya1b1c1??=k（常数）时，方程直接化为?k，有通解： a2b2c2dx

y?kx?c(c为常数)

②当程

a1b1c??k?1时，做变量代换u?a2x?b2y，将方程化为变量分离方a2b2c2duku?c1 ?a2?b2dxu?c2由上式可求解。

a1b1?X?x???③当时，做变换?，其中??,??为直线a1x?b1y?c1?0

a2b2Y?y???和直线a2x?b2y?c2?0在xoy平面的交点，将方程转化为齐次方程

dYa1X?bY?Y1??g?dXa2X?b2Y?X由上式可求解。

?? ?文档

实用标准文案

3）对于更一般的类型

dy?ax?b1y?c1????1?，这里a1，b1，c1，a2，b2， dxax?by?c?222?c2均为常数 ①当

da1b1c1??=k（常数）时，方程直接转化为y?f(k)，有通解 a2b2c2dxy?f(k)x?c；

②当

a1b1c??k?1时，做变量代换u?a2?b2y，将方程化为变量分离方 a2b2c2程

duku?c1?a2?b2f() dxu?c2由上式可求解。 ③当

a1b1?X?x???时，作变换?，其中（?,?）为直线a1x?b1y?c1?0 a2b2?Y?y??和直线a2x?b2y?c2?0在xoy平面的交点，将方程化为齐次方程

?aX?bYdY1?f?1dX?a2X?b2Y??Y??f??g(X)?

???由上式即可求解。 4）对于方程

dy?f(ax?by?c)，这里a，b，c均为常数，作变量代换dxu?ax?by?c，将方程化为变量分离方程

du?a?bf(u) dx由上式可求解。

5）对于方程yf(mx?y)dx?xg(nx?y)dy?0，这里m，n，?均为常数，作变量变换u?x?y，将方程化为变量分离方程

文档