变量代换求解常微分方程

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2)对于三阶变系数微分方程

d3ya2(x)d2ya1(x)dya0???y?0 （31） 322222dx1?xdx1?xdx(1?x)当原方程满足

?a1(x)?6x2?2c2x?c1?2 （32） ??a2(x)?6x?c2可作三角变换

x?tant

并求得

dyd2yd3y,2,3 dtdtdt代入原方程整理得

d3yd2ydy2?[a(x)?6tant]?[a(x)?2a(x)tant?6tant?2]?a0y?0 21232dxdxdt由（32）可得

?a1(x)?2a2(x)tant?6tan2t?2?c1 ??a2(x)?6tant?c2从而（31）可简化三阶常系数线性微分方程

d3yd2ydy?c?c?a0y?0 21dt3dt2dt9 Laplace变换法求解常微分方程

Laplace变换法主要是借助于拉普拉斯变换将常系数微分方程（组）转换成复变数S的代数方程（组），通过一些代数运算，一般在利用拉普拉斯变换表，即可找出微分方程（组）的解。 给定微分方程

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dnydn?1y?a1n?1?dxndx?any?f(x) （33）

初始条件y(0)?y0,y'(0)?y'0,而f(x)连续且满足原函数的条件。

其中a1,a2,,y(n?1)(0)?y(n?1)0 ，

an 是常数，

如果y(t)是方程（33）的任意解，y(t)及其各阶导数 yk(t)(k?1,2,是原函数，记

F(s)?L[f(x)]??e?sxf(x)dx （34）

0??,n) 均

利用原函数微分性质，对方程（33）两端施行Laplace变换，从而有

A(s)Y(s)?F(s)?B(s)

其中A(s)B(s)和F(s)都是已知多项式，由此 Y(s)?F(s)?B(s)

A(s)这就是方程（33）的满足所给初始条件的解y(x)的像函数，而y(x)可直接查Laplace变换表计算求得

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