?1?112f??1??2?2,e?2??222??fe?1?e?2ee??e由,且,
8分
?1??x???1,e?1??e?时,f?x? 的最大值为e2?2,故m?e2?2时,不等式f?x??m恒成立.
9分
2??fx?x?x?a,即x?1?2ln?1?x??a.记g?x??x?1?2ln?1?x?,则 (3)方程
g??x??1?2x?1?1?xx?1.由g??x??0得x?1;由g??x??0得?1?x?1.
所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.
而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a＞1时，方程无解； 当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解， 当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解；
当a＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a?(1,??)?(??,2?2ln2)时，方程无解；
a?(3?2ln3,1]或a=2-2ln2时，方程有唯一解；
a?(2?2ln2,3?2ln3]时，方程有两个不等的解.
14分
注：解决对数函数问题，首先要看函数的定义域，在函数的定义域内再研究函数的单调性，判断时可利用定义，也可利用复合函数单调性的判断。对于恒成立问题注意等价思想的应用。
四、对数函数的综合应用 〖例1〗已知函数f(x)=-x+log(1)求f(
1?x1?x2.
11)+f(-)的值；
20122012(2)当x∈(-a,a］，其中a∈(0,1），a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由.
思想解析:(1)本题是求函数值，而解析式中的两个变量互为相反数，所以，在解题方法上，应考虑函数的奇偶性；(2)本题探求f(x)的最值是否存在，由于已知函数的解析式，在解题方法上应考虑函数的单调性.
解答: (1)由f(x)=-x+log1?x1?x21?x有意义得：1?x>0，
解得：-1 1?x1?x2=x-log1?x1?x2=-f(x)， 5 ∴函数f(x)为奇函数，即f(-x)+f(x)=0， ∴f(- 11)+f()=0； 20122012(2)任取x1、x2∈(-1,1)且设x1 1?x11?x2f(x1)-f(x2)=x2-x1+log21?x1-log21?x2＞0， 易知f(x)在(-1,1)上是减函数， 又x∈(-a,a］，且a∈(0,1）， 1?a∴f(x)min=f(a)=-a+log21?a. 方法提示:（1）求f(a)+f(-a)的值，常常联想到函数的奇偶性，因此，解此类问题一般先判断奇偶性，再求值. （2）求形如f(2 012),f(2 011)的值往往与函数的周期性有关，求此类函数值一般先研究函数的周期性 （3）已知函数的最值或求函数的最值，往往探究函数的单调性 〖例2〗（12分）已知过原点O的一条直线与函数y?log8x的图象交于、两点，分别过、作y，轴的平行线与函数y?log8x的图象交于、两点。 （1） 证明点、和原点O在同一直线上； （2） 当 平行于x轴时，求点的坐标。 分析：（1）证明三点在同一条直线上只需证明kOC?kOD； （2）解方程组得x1，x2，代入解析式即可求解。 解答：（1）设点，的横坐标分别为x1、x2，由题设知x1>1，x2>1 则点、的纵坐标分别为log8x1、log8x2。[ 因为、在过点O的直线上，所以 log8x1log8x2， ?x1x2点、的坐标分别为（x1，log2x1）、（x2，log2x2） 由于log2x1?log8x1?3log8x1,log2x2?3log8x2 log82log2x13log8x1， ?x1x1log2x23log8x2 ?x2x2O的斜率为k1= O的斜率为k2?由此可知k1?k2，即O、、在同一直线上。 6 注：在解答过程中易出现三点共线不会证或找不到x1与x2关系无法进行正确地转化，并且求解坐标进忽略函数定义域的情况，导致此种错误的原因是：没有正确地理解题意，没有熟练地掌握三点共线与斜率相等的关系，或对x1、x2的范围没有搞清楚。 （2）由于 平行于x轴，知log2x1=log8x2， 即得log2x1=log2x2，x2?x13 代入x2log8x1?x1log8x2，得x13log8x1?3x1log8x1 3由于x1?1，知log8x1?0,故x1?3x1 13考虑x1?1，解得x1?3， 于是点的坐标为（3，log83） 注：本题是典型的在知识交汇点处的命题，若用传统方法设直线方程，解方程组求交点必然思路受阻，而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解。 方法提示: 解决对数函数综合问题的方法 无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1,+∞)； (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行； (3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. (4)在处理与对数函数有关的问题时，应注意底数的取值范围对解决问题的影响，以及真数为正的限制条件. 7
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