高考前必做的“不等式恒成立导数题中的参数求法”都在这里

高考前必做的“不等式恒成立导数

题中的参数求法”都在这里(总8页)

--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--

高考前必做的“不等式恒成立导数题中的参数求法”都在这里

已知含参数不等式恒成立求其中参数取值范围问题是高考热点，这里汇集了这类问题的通法和巧法，包括直接求导法、二次求导法、特值压缩法、分离lnx法、重构函数法、解不等式法、设而不求法等，都是高考压轴题最常用到的方法.

一、 直接求导法

1?x?axe?1恒成立，求a的取值范围. 1?x题目：当x?(0,1)时，f(x)?分析：注意exf(x)型函数不分离最好,这里f(x)是有理函数, 它的导数为[exf(x)]??exf(x)?exf?(x)?ex[f(x)?f?(x)]， 这里f(x)?f?(x)是有理函数，容易讨论其性质.

1?x?ax1?x?ax21?x?ax?ax)?e?(e)??e?e(?a) 解：f?(x)?(1?x1?x(1?x)21?x?e?ax2a(1?x2)ax2?2?a?ax2a(1?x)?ax[?]?e[?]?e， (1?x)21?x(1?x)2(1?x)2(1?x)2由ax2?2?a可知，我们可以按照二次函数的讨论要求处理，比较复杂， 于是可以考虑分离参数a，

即ax2?2?a?a(x2?1)?2?(x2?1)(a?注意到当x?(0,1)时，

222)?(x?1)(a?)， x2?11?x22?(2,??)，所以当a?2时，f?(x)?0，f(x)是增函数， 21?x所以f(x)?f(0)?1，

a?2a?2ax2?2?a?ax0?x?0?x?e?0当a?2时，f?(x)?可解得，即当时， 2aa(1?x)f(x)是减函数，所以f(x)?f(0)?1，不合题意.

综上，a的取值范围(??,2].

2

二、二次求导法

题目：当x?0时，f(x)?ex?1?x?ax2?0恒成立，求a的取值范围. 分析：f(x)?kex?ax2?bx?c型函数一般用到二次求导法. 解:f?(x)?ex?1?2ax，

x??f(x)?e?2a，

因为x?0，所以ex?1， 当2a?1即a?1时，f??(x)?0，f?(x)是增函数，所以f?(x)?f?(0)?0，所以f(x)是2增函数，所以f(x)?f(0)?0； 当2a?1即a?1时，则当0?x?ln(2a)时，f??(x)?0，f?(x)是减函数，所以2f?(x)?f?(0)?0，所以f(x)是减函数，所以f(x)?f(0)?0.

1所以a的取值范围(??,].

2三、特值压缩法

题目：当x??2时，f(x)?2kex(x?1)?x2?4x?2?0恒成立，求k的取值范围. 分析：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视.

?f(?2)?2ke?2(?2?1)?(?2)2?4?(?2)?2?0解：由?得 02f(0)?2ke(0?1)?0?4?0?2?0???2ke?2?2?0得1?k?e2， ??2k?2?0f?(x)?2k[ex(x?1)?ex]?2x?4?2(x?2)(kex?1)， 当1?k?e2时，由f?(x)?2(x?2)(kex?1)?0得ex?11?[e?2,1]?x?ln?[?2,0]， kk当k?e2时，显然当x??2时，f?(x)?0，f(x)为增函数，从而f(x)?f(?2)?0，

1当1?k?e2时，则ln?(?2,0]，所以

k3