2．1.1 合情推理(一)
学习目标 1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发展中的作用．
知识点 归纳推理
1111
思考1 若a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，你能猜想出数列{an}的通项公式an吗？
24816
思考2 直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？ 1．推理
从一个或几个____________得出另一个__________的思维过程称为推理． 2．归纳推理
(1)定义：从____________中推演出__________的结论，像这样的推理通常称为归纳推理． (2)思维过程：
实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论． 3．归纳推理的特点
(1)归纳推理的前提是几个已知的____________，归纳所得的结论是尚属未知的____________，该结论超越了前提所包容的范围．
(2)由归纳推理得到的结论具有________的性质，结论是否真实，还需经过____________和实践检验．
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.
类型一 代数中数、式的归纳推理 命题点一 数列中的归纳推理
例1 设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·an＋1－nan＋an＋1an＝0(n∈N)，则它的通项
2
2
*
公式为an＝________.
反思与感悟 (1)在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n项和公式；要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数(序号n)之间的关系，这是解题的关键． (2)归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些共同的特征；
②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)． 跟踪训练1 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)． (1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想通项公式an.
命题点二 算式中的归纳推理 例2 观察下列等式：
由此推测第n个等式为___________________________________________________ ________________________________________________________________________. 反思与感悟 对于运算式的猜测和推广，这一类问题需要观察的方面很多：首先是式子的共同结构特点，其次是式子中出现的字母之间的关系，还有化简或运算的结果等等．另外要注意对较为复杂的运算式，不要化简，这样便于观察运算规律和结构上的共同点．
1111111113111跟踪训练2 已知：1＞；1＋＋＞1；1＋＋＋＋＋＋＞；1＋＋＋…＋＞2；…
22323456722315根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．
类型二 几何问题中的归纳推理
例3 数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．
反思与感悟 (1)在几何中随点、线、面等元素的增加，探究点数、线数、面数等满足的关系及相应的线段、交点、图形的增加情况常用归纳推理解决，通过比较，寻找规律是解决该类问题的关键．
(2)应用归纳推理，注意两点：①从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量关系；②从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
跟踪训练3 平面内有n条直线(n＝3,4,5，…)，其中有且只有两条直线平行，任意三条直线不过同一点，记f(n)表示这n条直线的交点个数． (1)求f(3)，f(4)，f(5)；(2)猜测f(n)的表达式．
1．由数列1,10,100,1 000，…，猜测该数列的第n项可能是________．
2．如图所示是由火柴杆拼成的一列图形，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．
3．观察下列等式： (1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝2×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝2×1×3×5， …
照此规律，第n个等式可为_________________________________________________． 4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为
3
2
nn＋1
2121
＝n＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分22
k边形数中第n个数的表达式：
121
三角形数N(n,3)＝n＋n，
22正方形数 N(n,4)＝n， 321
五边形数 N(n,5)＝n－n，
22六边形数 N(n,6)＝2n－n …
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝______.
22
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